Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ. log2 5 − 2 < x < log2 3.

10.37. Преобразуем левую часть неравенства:

Неравенство

log|x + 6| (х² − x − 2) ≥ 1

равносильно совокупности двух систем

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем

x ≤ −2, x ≥ 4.

Таким образом, первая система может быть приведена к виду

и ее решениями будут интервалы:

x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

Решая второе неравенство второй системы, получим −2 ≤ x ≤ 4, а третье неравенство имеет решения x < −1, x > 2. Следовательно, система принимает вид

т. е. не имеет решений.

Ответ. x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

10.38. Обозначим logа x = y. Неравенство примет вид

1 + y²/1 + y > 1.

Так как 1 + y² > 0, то и 1 + y > 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе

т. е.

Получаем два интервала решений:

−1 < y < 0, y > 1.

Так как y = logа x, то нужно рассмотреть два случая.

Во−первых, если а > 1, то logа x − функция возрастающая и мы получим два интервала решений:

1/a < x < 1, x > а.

Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала решений:

1 < x < 1/a, 0 < x < а.

Ответ. При а > 1: 1/a < x < 1, x > а; при 0 < а < 1: 0 < x < а, 1 < x < 1/a.

10.39. Перейдем к основанию k:

где y = logk x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < −1, y > 0.

Вспоминая, что y = logk x и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > 1/k.

10.40. Поскольку 4x − 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log2 √7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log2 √6 < x ≤ log23. Так как log2 √7 > log2 √6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log2 √7 < x ≤ log2 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х² − 4x| + 3 ≥ x² + |x − 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x ≤ −⅔.

Если 0 ≤ x ≤ 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.

Если 4 < x ≤ 5, то наше неравенство примет вид x² − 4x + 3 ≥ x² + 5 − x, откуда x ≤ −⅔. Это не удовлетворяет условию 4 < x ≤ 5, а потому в данном случае решений нет.

Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x ≤ 8/5. Здесь снова нет решений.

Ответ. x < −⅔; ½ ≤ x ≤ 2.

10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x³ − 7 > 0, а также x − 1 > 1 и (x − 1)² > 1. Данное неравенство равносильно такому:

Так как x − 1 > 0, то  Поскольку x³ − 7/2 > 0, то ограничение x > 2 достаточно для того, чтобы следующие преобразования приводили к равносильным неравенствам:

После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: −4x² + 5x + 3/2 ≥ 0, имеющему решения −¼ < x < 3/2. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо

log2 (2 − 2x²) > 0, т. е. 2 − 2x² > 1, √2|x| < 1,

откуда

0 ≤ √2|x| < 1 и −1 ≤ √2|x| − 1 < 0.

Следовательно, |√2|x| − 1| ≤ 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если

log2 (2 − 2x²) ≥ 1, или 2 − 2x² ≥ 2, −x² ≥ 0,

т. е. x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является решением неравенства.

Ответ. x = 0.

10.44. Так как , то перепишем неравенство следующим образом:

Обозначив log3 x + 1/x − 1 = y, получим log2 y < 0, откуда

0 < y < 1, т. е. 0 < log3 x + 1/x − 1 < 1, 

а потому  1 < x + 1/x − 1 < 3.

Последнее неравенство можно записать так:

(x + 1/x − 1 − 1)(x + 1/x − 1 − 3) < 0

(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).

После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим

x − 2/(x − 1)² > 0,

откуда x > 2.

Ответ. x > 2.

10.45. Если 0 < x² − 1 < 1, то придем к системе

Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:

откуда 1 < x < √2.

Если x² − 1 > 1, т. е. x² > 2, то приходим ко второй системе:

откуда x > 3 + √5/2.

Ответ. 1 < x < √2, x > 3 + √5/2.

10.46. Перепишем неравенство в виде

Равносильность при этом не нарушается, так как оба выражения в квадратных скобках (полученное и данное в условии) существуют одновременно при x > 0. Выясним, когда основание положительно и когда оно отрицательно (если оно равно нулю, то неравенство не удовлетворяется). Для этого воспользуемся условным символом V, обозначающим сравнение левой и правой частей, и не будем нарушать равносильность при преобразованиях:

Преобразуем первое соотношение, имея в виду, что x − положительное число:

Итак, при  основание положительно, а при  оно отрицательно. Из отрицательных значений основания мы должны рассмотреть лишь те, при которых x − 4, а следовательно и x, — четное число. Среди чисел, заключенных в интервале ,  есть только одно четное: x = 2. Подставим это число в левую часть исходного неравенства:

Таким образом, x = 2 не удовлетворяет данному неравенству.

Пусть теперь основание положительно, т. е. . Тогда неравенство (1) равносильно такому:

т. е.

(пояснения приведены во втором указании на с. 192). В последнем неравенстве основание степени положительно, так как x > 0. Следовательно, его можно преобразовать к виду

т. е.

Мы рассматриваем случай . Решив неравенства

получим, что выражение  больше нуля, когда x > 6, равно нулю, когда x = 6, и меньше нуля, когда  Таким образом, вместо неравенства (2) можно записать

(x − 6)(x − 4) ≥ 0,

т. е.

Ответ.

10.47. Данное неравенство может выполняться только в том случае, если дискриминант стоящего в левой части квадратного трехчлена относительно x положителен, т. е.