Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

2x − √x ≤ 4,

т. е. x − √x ≤ 2. Обозначим √x = z и найдем решения неравенства

z² − z − 2 ≤ 0.

Получим −1 ≤ z ≤ 2. Левое неравенство выполняется, если только √x существует. Остается √x ≤ 2, т. е. 0 ≤ x ≤ 4.

Ответ. 0 ≤ x ≤ 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3√x(3 + x − 2x²) − 2(−2x² + x + 3) < 0,

или

(3√x − 2)(−2x² + x + 3) < 0.

Последнее неравенство[20] равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как −1 <  < = 1 < 3/2, то окончательно получим x > 3/2.

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x > 0, то неравенство равносильно такому:

(x − 1)2x − 1/3 − x < 0, т. е. (x − 1)(x − ½)/x − 3 > 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим ½ < x < 1, x > 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0−⅓ , которое не имеет смысла.

При x < 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. 2x − 1/3 − x, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = −2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = 3n + 1/2 + n.

Из условия x < 0 находим x = 3n + 1/2 + n < 0 и, следовательно, −2 < n < −⅓. Единственное целое число в этом интервале n = −1, а соответствующее ему значение неизвестного x = −2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (−2)−1 < 1.

Ответ. x = −2, ½ < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x² + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)² > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = −3/2. При x = −3/2 основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x ≠ −3/2, то оно равносильно неравенству

|х³ − 5х + 2| ≥ x − 2,

которое заведомо удовлетворяется при x − 2 ≤ 0, т. е. при x ≤ 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х³ − 5х + 2| = |х³ − 4x − (x − 2)| = |x − 2| |х² + 2x − 1| = (x − 2)|х² + 2x − 1|.

Так как x > 2, то получаем равносильное неравенство

|х² + 2x − 1| ≥ 1,

а поскольку x² + 2x − 1 = x² + 2(x − ½) > 0, то

х² + 2x − 1 ≥ 1, или x² + 2(x − 1) ≥ 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ. x − любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(logа x)² > 2,

откуда loga x < −√2,  loga x > √2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (loga x)² < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1,  при а > 1,  x > a√2.

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

5x + 2/5x + 10 =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = 10n − 2/5 − 5n < 0,

откуда n < 1/5, n > 1, или n ≠ 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|2k < 1, т. е. (|x| − 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = 20k − 2/5 − 10k, то

откуда k < −3/10, 0 < k < ½. Так как k — целое, то k = −1, −2, −3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = 20k − 2/5 − 10k, k = −1, −2, −3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = 10(2k + 1) − 2/5 − 5(2k + 1) = −10k + 4/5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n ≠ 1, т. е. k ≠ 0.

Ответ. 0 ≤ x < 1, x = 20k − 2/5 − 10k, k = −1, −2, −3, ...; x = −10k + 4/5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 ≤ log2 3 − 2x/1 − x < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log2 1, 1 = log2 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 ≤ 3 − 2x/1 − x < 2.

Требование положительности числа 3 − 2x/1 − x, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 ≤ y < 2 эквивалентно неравенству y − 1/y − 2 ≤ 0, получаем

Ответ. x ≥ 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |x − 1/2x + 1| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x ≠ 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так:

Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:

(x − 1)² < (2x + 1)²,

т. е. 3x² + 6х > 0, откуда x < −2, x > 0. Итак,

Ответ. x < −2, 0 < x < 1, x > 1.

10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:

Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x ≠ 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log5 x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство

которое преобразуется к виду

допускающему применение метода интервалов. Итак,

log5 x < −½, 0 < log5 x < log5 3.

Ответ. 0 < x < 1/√5, 1 < x < 3.

10.36. Так как log½ N = −log2 N, то данное неравенство перепишем в виде

log2 (2x − 1)log2 (2x + 1 − 2) < 2.

Преобразуем второй сомножитель:

log2 (2x + 1 − 2) = log2 [2(2x − 1)] = 1 + log2 (2x − 1).

Обозначив log2 (2x − 1) = y, получим квадратное неравенство

y(y + 1) < 2, или y² + y − 2 < 0,

решения которого лежат в интервале

−2 < y < 1.

Вспоминая, чему равен y, получим

−2 < log2 (2x − 1) < 1,

¼ < 2x − 1 < 2, 5/4 < 2x < 3.