Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств 4a + 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4с + 1 = 1, т. е. при а = b = с = 0, что противоречит условию а + b + с = 1.

Итак,

10.6. Пусть b < а. Тогда

(а + b)n ≤ (2a)n = 2nan < 2n(an + bn).

10.7. Так как ( а/b)x − возрастающая показательная функция (по условию а > b) и p > q, то

Воспользовавшись формулой производной пропорции, получим

что и требовалось доказать.

10.8. Имеем n очевидных неравенств:

Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию n > 1. Перемножая эти неравенства, получим

10.9. Способ 1. Обозначим a/b = u, b/c = v, c/a = w. Тогда uvw = 1, т. е. среди чисел u, v и w есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (u = v = w невозможно, так как а, b и с не равны друг другу). Пусть u > 1, а 0 < v < 1, т. е.

(1 − u)(v − 1) > 0 или −uv + u + v − 1> 0.

С другой стороны, для чисел u, v и e выполняется неравенство

т. е. uv + w ≥ 2. Складывая это неравенство с неравенством − uv + u + v − 1 > 0, получим

u + v + w > 3, или a/b + b/c + c/a > 3.

Способ 2. Пусть u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее из них: u > w, v > w. Так как u и w — положительные числа, то на них можно умножить неравенство v > w:

v(u − w) > w(u − w), т. е. uv − vw + w² > uw.

Поделим последнее неравенство на uw:

v/w − v/u + e/u > 1.

С другой стороны,

u/v + v/u ≥ 2.

Складывая с предыдущим неравенством, получим

u/v + v/w + w/u > 3.

Если с — наименьшее из чисел а, b и с, то полагаем w = с, u = а, v = b и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если а или b — наименьшее из чисел а, b и с, то обозначения соответственно изменятся.

Способ 3. Пусть b = с + d1, а = b + d2 (d1 > 0, d2 > 0, т. е. а > b > с). Тогда

Это решение обобщается на случай n чисел:

т. е.

10.10. Воспользуемся формулой Герона и применим к сомножителям p − а, p − b, p − с неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел (p − а + p − b + p − с = 3p − 2p = p):

В условие входит величина 4S, для которой мы и проведем дальнейшие оценки

Выделим в числителе слагаемое 3(а² + b² + с²), а излишек в 2(а² + b² + с²) используем для образования полных квадратов, которые поглотили бы все попарные произведения:

и тем самым неравенство доказано.

10.11. Оценим левую часть неравенства:

(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 = (х² − 7х + 6)(х² − 7х + 12) + 10 = [(х² − 7х + 9) − 3][(х² − 7х + 9) + 3] + 10 = (х² − 7х + 9)² − 9 + 10 = (х² − 7х + 9)² + 1 ≥ 1.

10.12. Подставляя в первое уравнение x² вместо yz, преобразуем систему следующим образом:

Числа y и z являются корнями квадратного уравнения относительно u:

u² + (x − х³)u + x² = 0.

По условию числа x и z действительные. Следовательно, дискриминант 

D = (x − x³)² − 4x² = x²(1 − x²)² − 4x² = x²[(1 − x²)² − 4]

должен быть неотрицательным.

Так как по условию x ≠ 0, то

(1 − x²)² ≥ 4.

Это неравенство может выполняться, если либо 1 − x² ≤ −2, либо 1 − x² ≥ 2. Второе неравенство не имеет решений, а из первого получаем x² ≥ 3, что и требовалось доказать.

10.13. Перепишем данные уравнения в виде откуда

yz = 8 − x(5 − x).

Числа y и z будут корнями уравнения

u² − (5 − x)u + x² − 5х + 8 = 0.

Так как y и z должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях x:

(5 − x)² − 4(х² − 5х + 8) ≥ 0, т. е. −3x² + 10x − 7 ≥ 0,

откуда

1 ≤ x ≤ 7/3.

Так как уравнения, которым удовлетворяют x, y и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим для y и z:

1 ≤ y ≤ 7/3, 1 ≤ z ≤ 7/3,

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 − 4а. Если а < ¼, то дискриминант положителен и уравнение ax² + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а > 0, т. е. 0 < а < ¼, то получим решения неравенства:

x < x1, x > x2.

Когда а < 0, то легко проверить, что x2 < x1. Поэтому решения запишутся в виде

x2 < x < x1.

Дискриминант отрицателен, когда а > ¼, а следовательно, а > 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а = ¼, то решения неравенства запишутся в виде x ≠ −2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 < x < 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

−7 − 3√5/2 ≤ m ≤ −7 + 3√5/2,

а решая второе, получим

−4 − 2√3 ≤ m ≤ −4 + 2√3.

Ответ. −½(7 + 3√5) ≤ m ≤ −4 + 2√3.

10.16. Пусть x1 и x2 — корни данного трехчлена. Тогда

Если корни x1 и x2 действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а > 0, а следовательно, корни x1 и x2 меньше а. Если а = 0, то один из корней равен −1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При а < 0 дискриминант 1 − 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.