Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

9.28. Обозначим √у = z. Тогда система перепишется в виде

Дважды возведем первое уравнение в квадрат:  отсюда  далее

4z² = 4х − 1, или z² = x − ¼.

Заменив  выражением x − ½, перепишем второе уравнение системы так:

Из последнего уравнения находим z²:

z² = 9/4 − 3x,

и сравниваем с выражением для z², полученным из первого уравнения:

x − ¼ = 9/4 − 3x.

Отсюда x = 5/8, а y = z² = 3/8.

Проверяем найденные значения x и y. Левая часть первого уравнения системы примет вид

Левая часть второго уравнения вычисляется проще:

Ответ. (5/8, 3/8).

9.29. Способ 1. Так как а и b положительны, то из данных уравнений следует, что x > 0 и y > 0.

Возведем каждое из уравнений в квадрат:

B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо x < 0, либо y < 0.

Выражения 1 − y² и 1 − x², как это видно из последней системы, останутся положительными.

Мы получили систему относительно x² = u и y² = v:

Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств

u > 0, v > 0.

Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим

Вычитая из первого уравнения второе, найдем

u − v = а² − b²,

т. е. u = v + а² − b². Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:

v² + (а² − b² − 1)v + b² = 0,

откуда

Вычисляем u:

(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)

Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:

(1 − а² + b²)² − 4b² = (1 − а² + b² − 2b)(1 − а² + b² + 2b) = [(1 − b)² − а²][(1 + b)² − а²] = (1 − b − а)(1 − b + а)(1 + b − а)(1 + b + а).

Так как а > b > 0 и а + b < 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.

Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v > 0. Имеем а² − b² = (а − b)(а + b) < а − b < а − b + 2b = а + b < 1. Следовательно, 1 − а² + b² > 0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v > 0. Так как а > b, то очевидно, что и u > 0.

Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а > b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.

Неравенство  очевидно.

Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.

Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin φ, y = sin ψ, где 0 < φ < π/2, 0 < ψ < π/2. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 < x < 1, 0 < y < 1. Получим систему

Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем

Так как по условию 0 < а + b < 1 и 0 < а − b < 1, а на φ и ψ были наложены ограничения 0 < φ < π/2, 0 < ψ < π/2, то можно написать

или

Из первой системы получим

Найдем sin φ1 и sin ψ1:

где α = arcsin (а + b), β = arcsin (а − b). (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на φ и ψ: 0 < φ < π/2, 0 < ψ < π/2.) Продолжим преобразования:

Нетрудно убедиться в том, что

[1 − (а + b)²][1 − (а − b)²] = (1 − а² + b²)² − 4b².

Аналогично найдем sin ψ1, а также sin φ2 и sin ψ2.

Ответ. Если а > b > 0, а + b < 1, то система имеет два решения:

9.30. Наряду с решением x1, y1, z1 система обязательно имеет решение −х1, −у1, z1. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.

Подставляя x = y = 0 в исходную систему, получим

откуда либо а = b = 2, либо а = b = −2.

Проверим, действительно ли при найденных значениях а и b система имеет единственное решение.

Если а = b = 2, то из первого уравнения находим

xyz = 2 − z.

Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно z:

z² − 3z + 2 = 0,

корни которого z1 = 1, z2 = 2.

При z = 1 получим систему

которая, как легко проверить, имеет четыре решения.

Таким образом, значения параметров а = b = 2 не удовлетворяют условию задачи.

Если а = b = −2, то из первого уравнения найдем

xyz = −2 − z.

Подставляем во второе:

z² + z − 2 = 0,

откуда z1 = −2, z2 = 1.

При z = −2 приходим к системе

имеющей единственное решение x = y = 0. При z = 1 получаем систему

Подставляем во второе уравнение y = −3/x и убеждаемся, что уравнение x4 − 3x² + 9 = 0, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.

Ответ. a = b = −2.

9.31. По условию y = −x. Данные уравнения примут вид

Если а ≠ −1, то, найдя x³ из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения

½(а + 1) = 1/2 − a, т. е. а² − а = 0,

откуда а = 0 или а = 1.

Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра а:

−1, 0, 1,

которые нужно проверить.

Если а = −1, то из первого уравнения найдем y = −x, а из второго уравнения найдем x³ = ⅓ и , а следовательно,  Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию x + y = 0.

Если а = 0, то из первого уравнения:  а из второго:  Это значит, что при а = 0 система имеет два решения:

По условию любое решение должно удовлетворять требованию x + y = 0, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.

Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему

Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = −1. (Докажите.)