Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Система примет вид

Решая ее, найдем: u1 = 4, v1 = 14; u2 = 14, v2 = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + √3, 7 + 4√3); (2 + √3, 7 − 4√3); (2 − √3 , 7 + 4√3 ); (2 − √3, 7 − 4√3 ); (7 + 4√3 , 2 + √3); (7 + 4√3, 2 − √3); (7 − 4√3, 2 + √3); (7 − 4√3, 2 − √3).

9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим

y − z = ху − x.

Подставляя во второе, получим

xz = 2(x − ху + x), т. е. xz = 2x(2 − y).

Если x = 0, то система принимает вид

Получаем два решения системы:

x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0;

x2 = 0, y2 = 6, z2 = 6.

Если x ≠ 0, то z = 2(2 − y). Подставляем во второе и третье уравнения

Подставим x из первого уравнения во второе:

7у − 2у² = −3ху + 9у.

Если y = 0, то получаем еще одно решение:

x3 = 4, y3 = 0, z3 = 4.

Если y ≠ 0, то 3x − 2y = 2, откуда x = 2(y + 1)/3. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:

2у² − 9у + 10 = 0,

откуда y4 = 2, y5 = 3 . Делаем проверку.

Способ 2. Запишем систему в виде

и сделаем три парных сложения

Отсюда находим решения:

а) x = y = z = 0;

б)

в) если x = 0, то  y = z = 6;

г) если y = 0, то

д) если z = 0, то

Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( 7/3, 5/2, −1).

9.17. Возведем уравнение x + y = −z в квадрат:

x² + y² + 2ху = z²,

и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = −10.

Преобразуем сумму x4 + y4 из третьего уравнения следующим образом:

x4 + y4 = (x² + y²)² − 2x²y² = (20 + z²)² − 200,

где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим

z² = 9, т. е. z = ±3.

Остается решить каждую из систем:

Производим проверку.

Ответ. (−2, 5, −3); (5, −2, −3); (2, −5, 3); (−5, 2, 3).

9.18. Третье уравнение можно записать так:

(x + y)(x² − ху + y²) + (z − 1)(z² + z + 1) = 0.

Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 − z. Поэтому

(1 − z)(x² − ху + y² − z² − z − 1) = 0.

Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = −4. B итоге — два решения:

x1 = 2, y1 = −2, z1 = 1;

x2 = −2, y2 = 2, z2 = 1.

Если же 1 − z ≠ 0, то

x² − ху + y² − z² − z − 1 = 0. (3)

Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 − z, а потому

x² + 2ху + y² = 1 − 2z + z². (4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

ху = −z.

Теперь второе уравнение исходной системы

ху + z(x + y) = −4

можно переписать как уравнение относительно z

−z + z(1 − z) = −4.

Решая его, найдем, что либо z = −2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, −2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, −2, 1); (−2, 2, 1); (1, 2, −2); (2, 1, −2), (−2, 1, 2); (1, −2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t − x)(t − y)(t − z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t − а)(t − b)(t − с), или (t − а)(t − b)(t − с) ≡ (t − x)(t − y)(t − z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с = u,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x³ + y³ + z³, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u³ = x³ + y³ + z³ + 3uv − 3w    (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а³ + b³ + с³ через u, v и w:

u³ = а³ + b³ + с³ + 3uv − 3(w − d).   (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x³ + y³ + z³ = а³ + b³ + с³ + 3d.

Ответ. а³ + b³ + с³ + 3d.

9.20. Умножив первое уравнение на ху²z², а второе — на x²уz², получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x − y) = 0.

Так как z ≠ 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = 1/x³. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х4 + 1 = 0.   (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)² = x²y²/4.