Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)² = x²y²/4.

Подставим в первое уравнение

x4 + y4 = 17/4x²y², т. е. (x² − y²)² = 9/4x²y²,

откуда

x² − y² = ±3/2ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x² − y² = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x − y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x1 = 0, y1 = 0.

Если x − y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x − 3, придем к уравнению x² − 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x2 = 1, y2 = −2;

x3 = 6, y3 = 3.

Если же x − y = −3, то аналогично получим

x4 = −2, y4 = 1;

x5 = 3, y5 = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, −2); (6, 3); (−2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 − t = 0 и 5 − 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z − t ≠ 0, z ≠ 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = 5 − 2t/2 − t,  z = 14 − 5t/5 − 2t.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t² − 4t + 3 = 0, т. е. t1 = 1, t2 = 3.

Итак, z1 = 3, z2 = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. (½, ½, 3, 1) (½, ½, 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху − 3хz + 6уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у²:

2ху − 4у² + 6уz = 54, или ху − 2у² + 3уz = 27.  (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y[17], получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x1 = 3, z1 = 4; x2 = 12, z2 = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u³ = (u + 2)(u² − 9),

а после упрощения

2u² − 9u − 18 = 0,

откуда u1 = 6, u2 = −3/2.

Для первого значения u находим x³ = 8, y³ = 3, z³ = 9, аналогично поступаем с u2. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x1 + x2 + ... + xn = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

xk(s − xk) + k(k + 1)s² = (2k + 1)²а²,

или

xk² − sxk − k(k + 1)s² + (2k + 1)²a² = 0,

откуда

Возьмем для всех xk знак минус и составим сумму х1 + ... + xn. Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для xk и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x − 11у = u, т. е. 7(x + y) − 18у = u, откуда x + y = и + 18y/7, а x + 9у = (x + y) + 8у = и + 74y/7.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x1 = y1 = 0.

Если u ≠ 0, то получаем уравнение

откуда u1 = ⅓, u2 =  −⅓, u3 = 2, u4 = −2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (10/243, −1/243); (−10/243, 1/243); (5, 3); (−5, −3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим

т. е.

(а − x)(b − x) = x², или (а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab ≠ 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = −x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b ≠ 0, то x = ab/a + b.

Из уравнения  находим y:

т. е.  откуда y = (|a| + |b|)²/4(a + b).

Так как а + b стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и а + b ≠ 0, то а + b > 0.

Преобразовывая систему, мы получили уравнение Следовательно, x ≥ 0, т. е. ab ≥ 0, а значит, и а ≥ 0, b ≥ 0.

Теперь можно записать, что

y = a + b/4.

Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид

2а − |а − b| = а + b.

Если а ≥ b, то это уравнение удовлетворяется, а если а < b, то получим а = b, что противоречит предположению а < b.

Второе уравнение системы после подстановки дает равенство 2b + |а − b| = а + b.

При а ≥ b получаем тождество.

Ответ. Если а ≥ b ≥ 0 и а + b > 0, то x = ab/a + b, y = а + b/4; если а = b = 0, то x = y = 0.