Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

−x + 2x + 2 − 3x − 6 = 0,

т. е. x = −2, что противоречит предположению. Таким образом, при x < −2 уравнение не имеет решений.

При −2 ≤ x ≤ −1 получим x = −2.

При −1 < x ≤ 0 уравнение обращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.

Наконец, при x > 0 получаем x = −2, что снова противоречит ограничению.

Ответ. x = −2.

9.2. Пусть x² = y. Тогда

|y − 9| + |y − 4| = 5.

Точки y = 4 и y = 9 разбивают числовую ось на три интервала.

Если y < 4, уравнение примет вид

9 − y + 4 − y = 5,

откуда y = 4. Это значение не принадлежит выбранному интервалу.

Если 4 ≤ y ≤ 9, то знаки абсолютной величины следует раскрыть так:

9 − y + y − 4 = 5, т. е. 5 = 5.

Так как уравнение обратилось в верное числовое равенство, то все значения y из интервала 4 ≤ y ≤ 8 являются решениями.

При y > 9 получим

y − 9 + y − 4 = 5,

т. е. y = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, что y = x², запишем

4 ≤ x² ≤ 9, или 2 ≤ |x| ≤ 3.

Ответ. −3 ≤ x ≤ −2; 2 ≤ x ≤ 3.

9.3. Способ 1. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:

(x − 3x/3 + x)² + 6x²/3 + x − 7 = 0,

т. е.

(x²/3 + x)² + 6x²/3 + x − 7 = 0,

откуда получаем совокупность уравнений:

x²/3 + x = −7, x²/3 + x = 1.

Действительных решений y этой совокупности уравнений нет.

Способ 2. Введем новое неизвестное:

3x/3 + x = u, или 3x = 3u + xu.

Получим систему

Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно x − u

(x − u)² + 6(x − u) − 7 = 0, откуда следует совокупность двух уравнений:

x − u = −7, x − u = 1.

Решая каждое из этих уравнений, убедимся, что действительных корней нет.

Ответ. Решений нет.

9.4. Возведем данное уравнение в куб:

Стоящий в скобках в левой части уравнения двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:

Такая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении а + b = с в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях а, b и с, что и данное равенство. После замены же мы получим

а³ + b³ + 3аbс = с³.

Это равенство удовлетворяется при а = b = 1, с = −1, в то время как исходное равенство а + b = с при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.

Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим

4х(2x − 3)(x − 1) = 9(x − 1)³.

Один корень этого уравнения x1 = 1; остается квадратное уравнение

x² − 6х + 9 = 0, x2,3 = 3.

Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.

Ответ. x1 = 1; x2,3 = 3.

9.5. Пусть  Придем к системе

Это — симметрическая система, ее обычно решают подстановкой: и + V = в, ии = _. Поэтому преобразуем левую часть первого уравнения:

u4 + v4 = (u² + v²)² − 2u²v² = [(u + v)² − 2uv]² − 2u²v² = (64 − 2t)² − 2t² = 64² − 256t + 2t².  

Поскольку все это равно 706, получаем квадратное уравнение

t² − 128t + 1695 = 0,

откуда

t1 = 15, t2 = 113.

Остается решить совокупность двух систем:

Решая первую, найдем v1 = 3, v2 = 5, откуда x1 = 4, x2 = 548. Вторая не имеет действительных решений.

Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. x1 = 4; x2 = 548.

9.6. Введем новые неизвестные:

Получим систему

Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u − v = 1, то u = p + 1/2, v = p − 1/2. Второе уравнение системы примет вид

(p + 1/2)5 − (p − 1/2)5 = 31, 

или после очевидных упрощений

р4 + 2р² − 99 = 0.

Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р1 = −3, р2 = 3. Зная р1 и р2, найдем u1 = −1, u2 = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:

x² − 34x + 32 = 0, x² − 34x + 65 = 0.

Решив эти уравнения, найдем четыре корня.

Ответ.

9.7. Введем новые неизвестные:

т. е. u4 + v4 = а − b.

Получаем систему

Заменяя во втором уравнении а − b на u4 + v4, получим

откуда

u5 + v5 − uv4 − и4v = 0, где u + v ≠ 0,

т. е.

u4(u − v) − v4(u − v) = 0,

а потому

(u − v)²(u² + v²)(u + v) = 0.

Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а − x = x − b, и, следовательно,

x = а + b/2.

Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а > b.

Ответ. При а > b имеем x = а + b/2.

9.8. Обозначив  получим систему уравнений

Вычитаем из первого уравнения второе:

x + y = (y − x)(x + y).

Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как  то из x = y = 0 следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.

Если x + y ≠ 0, то y − x − 1 = 0, откуда  и x² + x + 1 − а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем  Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.

Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а ≥ ¾ .

Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней  при всех а ≥ ¾ отрицателен, а потому не подходит. Другой корень  больше или равен нулю, если  т. е. а ≥ 1.