Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ. (52; 63).

Глава 7

Алгебраические преобразования

7.1.

Ответ.

7.2. Перепишем данное выражение так:

Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x − x². Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что

x4 − x² − 2x − 1 = (1 + x − x²)(−x² − x − 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ.  это выражение положительно при x ≠ 0.

7.4. Домножив дробь на  получим

Остается вычесть 2√b и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки  и воспользуемся выражением x через а: 

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 ≤ x ≤ 2, то 0 ≤ x − 1 ≤ 1 и, следовательно,  т. е.  Поэтому

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 4√2 = (2√2 + 1)², то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 30√2 = 25 + 2 · 5 · 3√2 + 18 = (5 + 3√2)²,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 3√2.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z² − y²)(xу + zu) + (x² − u²)(xу + zu) + (y² − z²)(xz + уu) + (x² − u²) × (xz + уu) = (z² − y²)(xу + zu − xz − уu) + (x² − u²)(xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu − xz − уu = x(y − z) − u(y − z) = (y − z)(x − u),

xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),

то получим

(z − y)(z + y)(y − z)(x − u) + (x − u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x − u)(y + z)[−(y − z)² + (x + u)²].

Ответ. (x − u)(y + z)(x + u − y + z)(x + u + y − z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z³ − 5z − 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z³ − 9z + 4z − 12 = 0, или (z − 3)(z² + 3z + 4) = 0.

Уравнение z² + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = −с. Возведем в куб

а³ + b³ + 3аb(а + b) = −с³

и заменим а + b на −с. Получим

а³ + b³ + с³ = 3аbс.

Возведем а + b + с = 0 в квадрат

а² + b² + с² = −2(ab + ас + bc)

и еще раз возведем в квадрат

а4 + b4 + с4 + 2(а²b² + а²с² + b²с²) = 4[а²b² + а²с² + b²с² + 2(а²bc + b²ас + с²ab)].

Поскольку а²bc + b²ас + с²ab = аbс(а + b + с) = 0, то

а4 + b4 + с4 = 2(а²b² + а²с² + b²с²).

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

а5(b² + с²) + b5(а² + с²) + с5(а² + b²) = а²b²(а³ + b³) + а²с²(а³ + с³) + b³с²(b³ + с³).

Заменим а³ + b³ на 3аbс − с³ и поступим аналогично с остальными скобками:

что и требовалось доказать.

7.11. Если данное равенство доказано при x ≥ 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x < 0. Тогда левую часть можно записать в виде

|−(x + y)| + |−(x − y)| = |(−x) − y)| + |(−x) + y|,

а правую — в виде

Поскольку −x > 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.

Итак, пусть x ≥ 0. Рассмотрим два случая: |y| ≤ x и |y| > x.

1. x ≥ 0, |y| ≤ x, т. е. −x ≤ y ≤ x. Тогда x² − y² ≥ 0 и  — неотрицательное действительное число. Кроме того  и равенство примет вид

2. x ≥ 0, |y| > x, т. е. y < −x или y > x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y < −x и y > x разберите самостоятельно). Так как |y| > x, то  следовательно,

Тем самым доказательство тождества закончено.

7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат

Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (x + y/2)² ≥ xy. Получим

x² + 2ху + y².

Если возвести в квадрат правую часть, то получим

x² + 2|ху| + y².

Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.

7.13. Возведем выражение

a⅓ + b⅓ = −c⅓   (1)

в куб. Получим

a + b + 3a⅓b⅓(a⅓ + b⅓) = −c.  (2)

Подставим (1) в (2):

a + b − 3a⅓b⅓c⅓ = −c.

т. е.

a + b + c = 3a⅓b⅓c⅓,

или

(а + b + с)³ = 27аbс.

7.14. По условию

24х² + 48х + 26 = (ax + b)³ − (cx + d)³,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x³ равен нулю, т. е. а³ − с³ = 0, или а = с. Тогда получим, что