Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Рассмотрим теперь случай, когда прямые AB и CD параллельны. Сместим отрезок AB по несущей его прямой так, чтобы его центр совпал с центром CD (рис. P.5.5, б). Если точка M (на рисунке она не изображена) принадлежит искомому геометрическому месту точек, то отношение ее расстояния до прямых AB и CD есть отношение высот в треугольниках АВМ и CDM. Площади этих треугольников будут равны тогда и только тогда, когда отношение расстояний от точки M до AB и CD будет равно отношению отрезков CD и AB. Таким образом, искомое геометрическое место есть две параллельные прямые, расстояния которых до CD и AB относятся как AB : CD.

Чтобы построить это геометрическое место точек, сместим отрезок AB по несущей его прямой так, чтобы его центр и центр E отрезка CD оказались на общем перпендикуляре к AB и CD (см. рис. P.5.5, б). Прямые DA′ и CB′ пересекутся в точке P, которая делит EF в отношении PF : РЕ = AB : CD, а прямые DB′ и СА′ пересекутся в точке Q, для которой QF : QE = AB : CD. Остается на прямой EF (см. рис. P.5.5, б) построить отрезки EP′ = FP и EQ′ = FQ. Прямые P′K и Q′L, проведенные через P′ и Q′ параллельно AB и CD, образуют искомое геометрическое место точек.

5.6. Для данного куба с ребром а найдем сначала геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагональной прямой верхнего основания, а другой — на не параллельной ей диагональной прямой нижнего основания. Как мы увидим, замена диагоналей на диагональные прямые позволяет упростить задачу.

Если MN — отрезок длины l, о котором идет речь в условии задачи, а расстояние между плоскостями верхнего и нижнего оснований равно а, то проекция MK отрезка MN на плоскость нижнего основания равна  (рис. P.5.6, а). Проекция G середины E отрезка MN делит MK пополам, поэтому  Треугольник MKO прямоугольный, а GO — его медиана. Следовательно,  Тем самым мы установили, что для фиксированного l точка G всегда отстоит от точки О на одинаковом расстоянии, равном , т. е. лежит на окружности радиусом  с центром в точке О.

Итак, если точка E принадлежит искомому геометрическому месту, то она лежит в плоскости, параллельной основаниям куба и проходящей через середину F отрезка OO1, и принадлежит окружности радиусом  с центром в точке F.

Для той измененной задачи, которую мы рассматриваем, верно и обратное утверждение: любую точку E, принадлежащую описанной выше окружности, можно спроецировать в точку G плоскости нижнего основания и радиусом GO сделать из точки G засечки M и K на диагональных прямых нижнего основания. Построив перпендикуляр NK, мы сможем найти и отрезок МN длины l, серединой которого является точка E.

Теперь остается учесть тот факт, что точка E и отрезок МN не должны покидать пределы куба.

Для этого нужно уловить тот момент, после которого один конец отрезка MN, например M, покинет куб. Ясно, что это произойдет, когда точка M совместится с одной из вершин квадрата ABCD. Пусть точка M совпала с вершиной А (рис. P.5.6, б). B зависимости от длины l отрезка МN проекция K точки N расположится на отрезке OB. При изменении длины отрезка МN точка K пробегает весь отрезок BO, а середина G отрезка MK пробегает в это время отрезок А2Р, являющийся средней линией треугольника АВO.

Теперь ясно, что проекция точки E на плоскость нижнего основания куба не может выйти из квадрата А2В2С2D2 (рис. P.5.6, в).

Итак, искомое геометрическое место точек расположено в горизонтальном сечении куба, проходящем через его центр. Это — часть окружности с центром в центре куба, не выходящая за пределы квадрата, проецирующегося в А2В2С2D2.

Глава 6

Свойства чисел. Делимость

6.1. Имеем p² − 1 = (p − 1)(p + 1), а p − 1, p, p + 1 − три последовательных числа, из которых p > 3 простое. Следовательно, p − 1 и p + 1 — два последовательных четных числа, т. е. одно из них обязательно делится на четыре, а произведение делится на восемь. Известно, что из трех последовательных целых чисел одно делится на три. Но p — простое, следовательно, на три делится либо p − 1, либо p + 1. Мы доказали, что p² − 1 делится на 8 · 3 = 24.

6.2. Способ 1. Предположим, что n³ + 2n делится на 3 при n = k. (Если n = 1, то это очевидно.) Тогда при n = k + 1 получим

(k + 1)³ + 2(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + (2k + 2) = (k³ + 2k) + 3k² + 3k + 3.

Так как k³ + 2k делится на 3, то и (k + 1)³ + 2(k + 1) тоже делится на 3. B силу принципа индукции утверждение доказано.

Способ 2. Так как n³ + 2n = n(n² + 2), то при n = 3k делимость на 3 очевидна. Если же n = 3k ± 1, то n² + 2 = (3k ± 1)² + 2 = 9k² ± 6k + 3 и также делится на 3.

6.3. Разложим данное число на множители двумя способами:

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421 = (243 + 1024)(24320 − ... + 102420) = 181 · 7(24320 − ... + 102420);

3105 + 4105 = (37)15 + (47)15 = 218715 + 16 38415 = (2187 + 16 384)(218714 − ... + 16 38414) = 18 571(218714 − ... + 16 38414) = 49 · 379(218714 − ... + 16 38414).

Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.

6.4. Множитель 2 содержится не менее одного раза во всех четных числах, не менее двух раз во всех числах, делящихся на 4, не менее трех раз в числах, делящихся на 8, и т. д. Поэтому четные числа мы должны сосчитать отдельно, прибавить к ним количество чисел, делящихся на 4, к ним прибавить количество чисел, делящихся на 8, и т. д. B результате получим

250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 494.

B этой сумме каждое следующее слагаемое получено из предыдущего как целая часть от деления его на два.

Ответ. 494.

6.5. Если умножить данное число на 10, то его свойство быть кратным 81 не изменится. Получим число

Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9 одинаковых секций

и будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное от деления одной секции на 9 через А. B результате деления на 9 всего числа получим частное

Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9. Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число — на 81.

6.6. Дополним n4 + 4 до полного квадрата:

n4 + 4n² + 4 − 4n² = (n² + 2)² − 4n² = (n² − 2n + 2)(n² + 2n + 2).

Число n4 + 4 может быть простым только в том случае, если либо n² − 2n + 2 = 1, либо n² + 2n + 2 = 1. Решая эти уравнения, получим n = 1, n = −1. При n = ±1 данное выражение равно 5, т. е. является простым числом.