Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Отсюда

Но x² = R² − 12, т. е.

Тогда  а после возведения в квадрат и приведения подобных членов: 64R² = 28² + 8у² + y4 или 64R² = (y² + 4)² + (28² − 16).

Поскольку

28² − 16/64 = 4² · 7² − 4²/4² · 4 = 7² − 1/4 = 48/4 = 12,

имеем R² = (y² + 4)²/64 + 12. Это выражение при x = 0 достигает своего минимального значения R² = 4²/64 + 12 = 12¼  = 49/4, т.е. R = 7/2. 

Ответ. 3,5.

Замечание. Условие задачи, в силу которого основание P высоты SP пирамиды SABC принадлежит ее основанию ABC, при решении не использовано. Это условие оказалось лишним. Следовательно, в постановке задачи имеется неточность. Мы пытались использовать это условие, когда в первом указании строили прямую призму, верхнему основанию которой должна принадлежать вершина S. Эти ограничения оказались невостребованными при решении задачи. Задача реально предлагалась на вступительных экзаменах.

Глава 4

Геометрические задачи на проекционном чертеже

4.1. Проведем AE до пересечения с ОС в точке F (рис. P.4.1, а). Точка F лежит в плоскости грани DD1C1C, в которой лежит и точка О, принадлежащая сечению. Проведем FO до пересечения с D1D в точке N. Таким образом, сечение, о котором идет речь в условии, построено; это ANME (см. рис. P.4.1, а).

Обозначим ребро куба через а и вычислим объем фигуры, лежащей под сечением, как разность объемов двух пирамид: NAFD и MEFC.

Отрезок EC — средняя линия в треугольнике AFD, следовательно, CF = СО = а.

Вычертим отдельно треугольник BFD и проведем OK || ND (рис. P.4.1, б). Так как О — центр грани куба, то OK = a/2, DK = KC = а/2. Из подобия образовавшихся треугольников находим

MC = а/3, ND = 2MC = 2а/3.

Так как треугольники EFC и EAB равны (см. рис. P.4.1, а), то площадь треугольника AFD равна а², а площадь треугольника EFC равна a²/4. Теперь можно вычислить объем фигуры, лежащей под сечением ANME:

⅓ND · a² − ⅓MC · a²/4 = ⅓2a/3a² − ⅓a/3a²/4 = 7a³/36,

и найти искомое отношение объемов.

Ответ. 29 : 7.

4.2. Проведем прямую FG, которая пересечет А1В1 и А1D1 в точках M и L соответственно (рис. P.4.2). Соединив точки M и А и точки L и А, получим еще две точки E и K, принадлежащие сечению.

Площадь сечения AEFGK вычислим как разность площади треугольника AML и удвоенной площади треугольника KGL.

Треугольники ЕВ1М, FC1G и GD1L равны. Следовательно, D1L = В1F = ½, MF = FG = GL. С помощью треугольников МА1L и АА1L можно найти стороны треугольника AML:

его высоту

и его площадь

Треугольники AML и KGL подобны, так как GK и AM параллельны (они получены в результате пересечения двух параллельных граней куба плоскостью сечения), с коэффициентом подобия ⅓ (мы доказали раньше, что 3GL = ML). Следовательно, площадь треугольника KGL равна 1/9 площади треугольника AML, а площадь сечения AEFGK равна 7/9 площади AML.

Ответ.

4.3. Пусть K — точка пересечения AO1 и C1C (рис. P.4.3). Соединим K с центром Q боковой грани BB1C1C и получим сечение куба. Так как Q — центр симметрии квадрата B1C1CB, то B1E = FC. Проведем O1C1 и AC. Отрезок O1C1 — средняя линия в треугольнике AKC, и, следовательно, KC1 = C1C.

Треугольники KFC и KEC1 подобны с коэффициентом подобия 2. Поэтому FC = 2EC1. Так как FC = В1Е, то отношение отрезков B1E к ЕС1 равно 2.

Ответ. 2.

4.4. Пусть высота данной пирамиды h, сторона основания а. Найдем объем фигуры, лежащей под сечением BEFG (рис. P.4.4, а), как разность объемов пирамид EBCM и FGDM.

Объем первой пирамиды равен

⅓h/23a²/2 = ¾(⅓ha²) = ¾v,

где v — объем данной пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды FGDM, сделаем чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC (рис. P.4.4, б). Проведем EL параллельно SD. Так как E — середина SC, то DL = ½DC = a/2. Из подобия треугольников MEL и MFD найдем

FD/EL = MD/ML = 2a/2,5a = 4/5.

Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что высота пирамиды FGDM равна 4/5 высоты EBCM, т. е. 4h/10.

Из подобия треугольников MGD и MBC (см. рис. P.4.4, а) найдем GD = 2a/3. Это означает, что объем пирамиды FGDM равен

⅓4h/102a²/3 = 4/15(⅓ha²) = 4/15v,

Таким образом, объем фигуры, лежащей под сечением, равен

¾v − 4/15v = 29/60v.

Ответ. 29/31.

4.5. Сечение AMND и диагональная плоскость ASC разбивают данную пирамиду на четыре части. Так как высота пирамиды NACD (рис. P.4.5) вдвое меньше высоты данной пирамиды, а площадь основания вдвое меньше площади основания ABCD, то ее объем равен v/4, где v — объем данной пирамиды.

Рассмотрим пирамиды ASBC и ASMN с общей вершиной A. Их высоты равны, а площадь основания первой в четыре раза больше. Следовательно, их объемы относятся, как 4 : 1. Таким образом, на долю пирамиды ABMNC приходится 3v/8.

Теперь можно найти, какую часть объема пирамиды составляет фигура, расположенная под сечением:

¼v + 3/8v = 5/8v.

Ответ. 5 : 3.

4.6. Соединим точки P, Q и R с вершиной A (рис. Р.4.6), после чего соединим их между собой.

Продолжим A1B1 до пересечения с QP в точке E и A1D1 до пересечения с QR в точке F. Обе точки E и F лежат в плоскости верхнего основания, а EF — след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку MK.

Продолжим DC до пересечения с PR в точке G и соединим K с G. На ребре СС1 получим точку L, принадлежащую сечению.

Из подобия треугольников QА1Е и QAP следует, что А1Е = А1Q = 3a/2, где а — ребро куба.