Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Проверкой убеждаемся, что  удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x1 в это уравнение, получим  что выполняется одновременно с равенством  так как x ≥ 0. Значение х1 было найдено из уравнения  Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:

a − 1 − x1 = x1².

Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х1, то проверку можно считать законченной.

Ответ. x = 0, если а = 0, и  если а ≥ 1.

9.9. Перенесем  в правую часть уравнения:

и возведем обе части в квадрат. Получим

откуда при а ≠ 0

Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим

Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения −1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а > 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.

Если 0 < а ≤ 1, то

Если же а > 1, то

Число 1/а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а > 1.

Ответ.  если 0 < а ≤ 1.

9.10. Рассмотрим два случая.

Если 2x² − 3x − 2 ≥ 0, т. е. x ≤ −½, x ≥ 2, получим уравнение

4х² + 5х − 2(1 + β) = 0.

Корни этого уравнения  должны лежать вне интервала (−½, 2).

Неравенство

удовлетворяется при β ≥ −57/32. Больше двух этот корень быть не может.

Для x2 нужно решить два неравенства:

Первое выполняется при −57/32 ≤ β ≤ −7/4, а второе — при β ≥ 12.

Пусть теперь 2x² − 3x − 2 < 0, т. е. −½ < x < 2. Данное уравнение станет линейным и мы найдем

x3 = 2(β − 1)/11.

Решим неравенство

−½ < 2(β − 1)/11 < 2

и получим

−7/4 < β < 12.

Итак, при β = −57/32 корни х1 и х2 совпадают, а корень х3 не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение x = −5/8. Если −57/32 < β ≤ −7/4, то уравнение имеет два решения: х1 и х2 (которые, очевидно, различны); если −7/4 < β ≤ 12, то х1 и х3; а если β ≥ 12, то два решения: х1 и х2.

Корни х1 и х3 различны, так как −½ < х3 < 2, а х1 лежит вне этого интервала.

Ответ. β = −57/32.

9.11. Если x ≥ 0, y ≥ 0, то получим систему

Если x ≥ 0, y ≤ 0, то

Если x ≤ 0, y ≥ 0, то

Если x ≤ 0, y ≤ 0, то

Каждое из четырех решений удовлетворяет записанным ограничениям.

Ответ. (2, 1); (0, −3); (−6, 9); (0, −3).

9.12. Исключая последовательно y и x, найдем

x = k + 16/7, y = 8 − 3k/7.

Остается решить систему неравенств

Первое неравенство равносильно такому:

(k + 8 + √71 )(k + 8 − √71 )k > 0.

Приходим к системе

Так как −8 + √71 < 8/3, то условию задачи удовлетворяют два интервала.

Ответ. −8 − √71 < k < 0; −8 + √71 < k < 8/3.

9.13. Если x ≥ −у и x ≥ y, то получим системы

которая при x ≥ −у и x ≥ y имеет решение

x ≥ |a|/2, y = а/2

при условии а = −b.

Если x ≥ −у, но x ≤ y, то

Из условия x ≥ −у находим −b/2 ≥ −а/2, а из второго условия: −b/2 ≤ а/2. Оба этих неравенства соответствуют условию а ≥ |b|.

Если x ≤ −у, а x ≥ y, то

Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b ≥ |а|.

Наконец, если x ≤ − у, x ≤ y, получим

Это значит, что а = b. Так как y ≥ x, но y ≤ −х, то −x ≥ 0. Окончательно получим при а = b ≥ 0

x = −а/2, −а/2 ≤ y ≤ а/2.

Ответ. При а = −b, x ≥ |а|/2, y = а/2; при а ≥ |b|, x = −b/2, y = а/2; при b ≥ |a|, x = −а/2, y = −b/2; при а = b ≥ 0, x = −а/2, −а/2 ≤ y ≤ а/2.

9.14. Уравнение x² + y² = а при а < 0 не имеет решений. Если а ≥ 0, то это — уравнение окружности радиуса √a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если √а < √2/2, то система не имеет решений.

Если √а = √2/2, т. е. а = ½, получим четыре решения: x = ½, y = ½ и три симметричных: (−½, ½), (−½, −½), (½, ½).

Если ½ < а < 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · |y| = 1 − a/2. B результате придем к системе

которая при положительных x и y имеет два решения:

К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

Если а = 1, то y системы четыре решения: x1 = 1, y1 = 0; x2 = 0, y2 = 1; х3 = −1, у3 = 0; х4 = 0, у4 = −1. При а > 1 решений нет.

9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение

x1 = 0, y1 = 0.

Если ху ≠ 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x²y². Получим систему

Введем обозначения:

x + 1/x = u, y + 1/y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x² + 1/x² = u² − 2, y² + 1/y² = v² − 2.

Система примет вид