Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему

Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = −1. (Докажите.)

Ответ. ±1.

9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему

Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

При а = 0 получаем систему

Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.

Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид

При любом b эта система имеет решение x = y = 0.

Ответ. 1.

9.33. Пусть (х1, у1) — решение системы. Тогда второе уравнение удовлетворяется еще тремя парами значений неизвестных (−x1, y1), (x1, −y1), (−x1, −y1). Легко убедиться, что первое уравнение наряду с (x1, y1) имеет также решение (x1, −y1):

Таким образом, система может иметь единственное решение лишь при условии, что y1 = −y1, т. е. y = 0. Подставим это значение y в систему. Из первого уравнения получим а = 0.

Выясним, достаточно ли условия а = 0 для единственности решения исходной системы. Если а = 0, то xy = 1, а это означает, что либо x = 1, y — любое число, либо x ≠ 0 — любое, y = 0. Значения параметра b должны быть такими, чтобы второму уравнению системы удовлетворяло только одно из решений первого. Если y = 0, то второе уравнение имеет единственное решение x = √b (по условию x > 0) при любом b > 0. Поэтому b нужно выбрать таким, чтобы исключить случай x = 1, т. е. таким, чтобы уравнение 1 + y² = b не имело действительных решений. Для этого необходимо и достаточно выполнение ограничения b < 1.

Если x = 1, то второе уравнение имеет единственное решение в том и только в том случае, если b = 1. При этом ему удовлетворяет единственное из решений первого уравнения: x = 1, y = 0.

Ответ. а = 0, 0 < b ≤ 1.

9.34. Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на  Полученное уравнение разделим на y, который тоже отличен от нуля, если входит в решение системы. Получим  Исключим  с помощью первого уравнения системы:

x²/y² − 2x/y + y² + 2x − 2y = 3.

Последнее уравнение перепишем в виде

x²/y² + 2x + y² − 2(x/y + y) = 3

Если x + y = z, то z² − 2z − 3 = 0, z1 = −1, z2 = 3. Первое уравнение данной системы можно записать в виде

Если  откуда x = 0. Второе уравнение системы дает тогда два значения: y1 = 0, y2 = −1, где y = 0 не удовлетворяет первому уравнению. Если z = 3, то x = 4/3; второе уравнение системы после несложных преобразований принимает вид 3y²+ y + 4 = 0, т. е. не имеет действительных решений.

Проверка убеждает нас в том, что x = 0, y = −1 — единственное решение системы.

Ответ. (0, −1).

9.35. Запишем данное уравнение в виде

|6 − |x − 3| − |x + 1|| = а(x + 5) + 4.    (10)

Построим график функции

y = |6 − |x − 3| − |x + 1||.    (11)

Начнем с графика функции

y = 6 − |x − 3| − |x + 1|,    (12)

который легко построить, разбив числовую ось на три интервала точками x = −1, x = 3 (рис. P.9.35).

Получим

Этот график совпадает с графиком функции (11) там, где значения y, полученные из (13), неотрицательны. Если же значения y, полученные из (13), отрицательны, то им соответствуют симметричные относительно оси Ox точки графика. Таким образом, для интервала −2 ≤ x ≤ 4 графики функций (11) и (12) совпадают, а при x < −2 и при x > 4 мы получаем симметричные относительно оси Ox лучи. В итоге для функции (11) имеем:

График этой функции изображен на рис. P.9.35 жирной линией (около каждого отрезка указан номер соответствующего ему уравнения).

Если подойти к задаче формально, то мы можем рассчитать точки пересечения прямой (19) — см. ниже — с каждой из прямых (14), (15), (16), (17), (18). Получим соответственно:

x1 = −5a + 8/a + 2, x2 = 5a/2 − a, x3 = −5a + 2/a, x4  = 4 − 5a/a + 2, x5 = 5a + 12/2 − a.

Рассмотрим теперь при разных значениях параметра а семейство прямых

y = а(x + 5) + 4     (19)

и определим, сколько точек пересечения y каждой из прямых (19) с графиком функции (13).

Тангенс угла наклона прямых (19) равен а и все эти прямые проходят через точку А(−5; 4). Обозначим на графике точки В(−2; 0), С(−1; 2), D(3; 2), E(4; 0), а также точки G и H, расположенные на левом и правом лучах графика (11) соответственно. Соединим точку А(−5; 4) с точками /(−2; 0), С(−1; 2), 1(3; 2) и E(4; 0). Проведем через точку А прямые AG1 || EH. Обозначим на каждой из проведенных нами через точку А прямых ее угловой коэффициент а: для AC имеем а = −2, для AB, AC, AE, AD и AH1 соответственно а принимает значения: −4/3, −½, −4/9, ¼, 2.

Теперь нетрудно подсчитать, при каких а какие решения имеет данное в условии уравнение. Получим

одно решение x1 при а < −2;

решений нет при −2 ≤ а < −4/3;

одно решение x1 = x2 при а = −4/3;

два решения x1, x2 при −4/3 < а < −½;

два решения x1, x2 = x3 при а = −½;

два решения x2, x3 при −½ < а < −4/9;

три решения x1, x3, x4 = x5 при а = −4/9;

четыре решения x1, x3, x4, x5 при −4/9 < а < −¼;

три решения x1, x3 = x4, x5 при а = −¼;

два решения x1, x5 при −¼ < а < 2;

одно решение x1 при а ≥ 2.