Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Это неравенство эквивалентно такому:

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а < 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ. а < −2.

10.17. Так как k ≠ 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от −1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k² − k − 2)(k³ + k − 2) < 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим

(k − 2)(k + 1)(k + 2)(k − 1) < 0.

Ответ. −2 < k < −1; 1 < k < 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m > 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m > 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m < −4/3, m > 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m > 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид −4x + 1 > 0, т. е. x < ¼, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ. m > 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 ≤ x < 5, 2 < x < 3.

Ответ. 2 < x < 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x − 3)² > (x + 2)²,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ. x < ½.

10.21. При x > 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x < 0 входящее в данное неравенство выражение  не существует.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x > ⅓), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x² ≤ ¼, |x| ≤ ½). Получаем интервал решений ⅓ < x ≤ ½.

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x ≤ ⅓), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 − 4x² ≥ 0 или |x| ≤ ⅓ не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 < x ≤ ⅓. Объединяя интервалы 0 < x ≤ ⅓ и ⅓ < x ≤ ½, получим решение первой системы: 0 ≤ x ≤ ½.

Перейдем ко второй системе:

Условие x < 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| ≤ ½. Получим

Ответ. −½ ≤ x < 0, 0 < x ≤ ½.

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение  а потому . Вынесем множитель  за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так как x² − x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x > 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим  тогда первое неравенство примет вид y² − 2y + 1 > 0, т. е. (y − 1)² > 0, откуда y ≠ 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае  Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

121x² + 198x + 81/4x² + 36x + 81 > 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x > 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 < x < 45/8.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x < 0, то, умножив обе части на −1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x > 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 < x < 45/8.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y² + y − 42 < 0,

которое имеет решения: −7 < y < 6. Итак,

Поскольку сумма  всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни √x и  здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение √x  на  мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 ≤ x < 841/144.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем −|а| ≤ x ≤ |а|.

Так как в первой системе x > 0, то для нее получим решения:

0 < x ≤ |а|, а ≠ 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

−|а|/√5 < x < |а|/√5.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала −|а|/√5 < x ≤ 0  при а ≠ 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а ≠ 0: −|а|/√5 < x ≤ |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2√x 2x:

2x − √x ≤ 3 + 4 · 2√x − x;

обозначив 2x − √x = y, получим

y ≤ 3 + 4/y,

а так как y > 0, то

y² − 3y − 4 ≤ 0.

Корни трехчлена: −1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2x − √x ≤ 4,

т. е. x − √x ≤ 2. Обозначим √x = z и найдем решения неравенства