Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ.  при а ≤ 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x1 = 2, x2 = −1/lg 5.

Ответ. 2, −1/lg 5.

11.7. Так как (2 + √3)(2 − √3) = 1, то 2 + √3 и 2 − √3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + √3)x² − 2x = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + 1/y = 101/10

(мы разделили обе части уравнения на 2 + √3).

Решая это уравнение, найдем

y1 = 1/10, y2 = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + √3)x² − 2x = 1/10,

посторонний.

Так как 2 + √3 > 1, то x² − 2x < 0. Выражение x² − 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен −1. Поскольку 2+ √3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ¼, а следовательно, ни при каких x не равное 1/10.

Остается решить уравнение

(2 + √3)x² − 2x = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + √3:

x² − 2x − log2 + √3 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то аx > а², bx > b², и следовательно,

аx + bx > 1;

если же x > 2, то аx < а², bx < b², и следовательно, аx + bx < 1.

Ответ. x = 2.

11.9. Если x − 2 ≠ 0, 1, −1, то log2 (x + 31) = 3, x = −23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем , и так как log231 > 0, то уравнение удовлетворяется.

При x − 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x − 2 = −1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = −23. Тогда log2 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ. −23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log3 (3x + 1 − 3) = 1 + log3 (3x − 1), то, обозначив log3 (3x − 1) через y, получим

y² + y − 6 = 0,

откуда y1 = −3, y2 = 2.

Если log3 (3x − 1) = −3, то 3x = 28/27 и x1 = log3 28 − 3. Если log3 (3x − 1) = 2, то 3x = 10 и x2 = log3 10.

Ответ. log3 28 − 3, log3 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log7 x + logx 7 = log²7 x + log²x 7 − 7/4.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log7 x · logx 7 = 1) и обозначим

log7 x + logx 7 = y.

Получим уравнение:

4у² − 4у − 15 = 0, откуда у1 = 5/2, y2 = −3/2.

Если logx 7 + log7 x = 5/2, то

Если же logx 7 + log7 x = −3/2, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ. x1 = 49, x2 = √7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y³ − 2y + 1 = 0,

где y = log3 x.

Так как у³ − 2y + 1 = (y − 1)(y² + y − 1), то

y1 = 1, y2,3 = −1 ± √5/2.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ. x1 = 3, x2,3 = 3.

11.13. Если

y = logх 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ. x = 1/9.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log4 x + log4(10 − x) = 2,

откуда

x² − 10x + 16 = 0, x1 = 2, x2 = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ. x1 = 2, x2 = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим logx 2 = y:

1/1 − y − 21/4y + 1 + 10/2y + 1 = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = −2 и y = ½, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ. x1 = 1, x2 = 1/√2, x3 = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log2 6 − log2 (4 − x) = log2 (3 + x),

откуда

х² − x − 6 = 0, x1 = −2, x2 = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как  при x = −2 не существует.

Ответ. x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x4 + 2x³ + 2x − 1 = (х² + x − 1)²,

то, раскрывая скобки, получим

х² + 4x − 2 = 0, x1,2 = −2 ± √6.

Если же

x4 + 2x³ + 2x − 1 = −(х² + x − 1)²,

то

x²(2x² + 4x − 1) = 0; x3 = 0, x4,5 = −2 ± √6/2.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х² + x − 1| ≠ 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ. x1,2 = −2 ± √6; x3,4 = −2 ± √6/2.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ≠ 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене  на x могут быть введены посторонние корни x < 0.

Мы получили уравнение относительно :

y² − 5у + 6 = 0; y1 = 2, y2 = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя logx а на, получим

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то loga x > 0, а потому loga x + 1 > 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как