Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x − y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log2 x = u, log2 (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (√2, 15); (2, 3).

11.29. Так как loga² x = ½ loga x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log|a| x), а log√b √y = logb y, то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y > 0, b > 0, b ≠ 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие , т. е. 8а³ > а4, приводит к дополнительному ограничению на а: а < 8.

Ответ. При 0 < а < 1, 1 < а < 8 и при b > 0, b ≠ 1   

11.30. Пусть 3x + 1 = u, 3y + z − x = v, тогда первые два уравнения примут вид

откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z − x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид

lg уz = lg 2,

следствием которого будет

уz = 2.

Решаем систему

Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.

Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).

Глава 12

Тригонометрические преобразования

12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим 2/sin x, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение Таким образом, первое слагаемое принимает вид

Второе слагаемое легко приводится к виду

Ответ.

12.2. Так как сумма углов 30° − α и 60° − α равна 90° − 2α, то

tg [(30° − α) + (60° − α)] = ctg 2α,

или

откуда следует наше тождество.

12.3. Рассмотрим выражение

Так как ctg x = ½(ctg x/2 − tg x/2),  то

ctg x + ½ tg x/2 = ½ ctg x/2.

Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:

что и доказывает тождество.

12.4. Перепишем равенство

sin α cos (α + β) = sin β

в виде

sin α cos (α + β) = sin [(α + β) − α],

т. е.

sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α − sin α cos (α + β),

или

2 sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α.

Из условия следует, что cos (α + β) ≠ 0 и cos α ≠ 0. Разделим последнее равенство на cos (α + β) cos α. Получим

2 tg α = tg (α + β).

12.5.

Применяя последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду

Ответ. −1/8.

12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:

Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:

Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим

Теперь можно найти произведение тангенсов.

Ответ. √7 .

12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

и воспользуемся условием. Получим

12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x − y) = sin² x cos² y − cos² x sin² y = k² sin² y cos² y − cos² x sin² y = sin² y (k² cos² y − cos² x).

Так как cos² x = 1 − k² sin² y, то выражение в скобках равно k² − 1. По условию −1 ≤ k ≤ 1, т. е. k² − 1 ≤ 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x − y) ≤ 0.

12.9. Вычислим а² + b²:

а² + b² = 2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 + 2 cos (α − β) = 4 cos² α − β/2. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

что и требовалось доказать.

12.10. Обозначим sin² α = а, sin² β = b, sin² γ = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид

т. е.

2abс + аb(1 − с) + bс(1 − а) + ас(1 − b) − (1 − а)(а − b)(1 − с) = 0.

После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим

−1 + с + b + a = 0,

что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin² α + sin² β + sin² γ = 1.

12.11.

При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Ответ. −3.

12.12. Так как

ctg α + ctg γ = 2 ctg β и β = π/2 − (α + γ),

то

Углы α и γ острые. Поэтому ctg α > 0 и ctg γ > 0 и на их сумму можно сократить:

откуда легко найти произведение котангенсов.

Ответ. 3.

12.13. Преобразуем данное выражение:

sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° − sin 16° ctg 8° = cos 16° − 2 sin 8° cos 8° cos 8°/sin 8° = cos 16° − 2 cos² 8° = cos 16° − (1 + cos 16°) = −1.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

13.1. Так как √2 sin (x + π/4) = sin x + cos x, то

1 + sin 2x + 2 cos 3x sin x + 2 cos 3x cos x = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

Объединим одночлены, содержащие cos 3x и все оставшиеся одночлены:

2 cos 3x (sin x + cos x − 1) + 2 sin x (sin x + cos x − 1) = 0.

Получим уравнение

(sin x + cos x − 1)(cos 3x + sin x) = 0.

Если sin x + cos x = 1, т. е. (x − π/4) = 1/√2 , то

x = nπ/2 − π/8 и x = nπ + π/4.

Ответ. 2nπ; 2nπ + π/2; nπ/2 − π/8; nπ + π/4.

13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:

или

Последнее уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, найдем

cos x = 1, откуда x = 2kπ,

cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = π/4 + kπ.

Так как при x = 2kπ и x = π/4 + kπ условие sin² x ≠ 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.

Ответ. x = 2kπ; x = π/4 + kπ.

13.3. Поскольку

 мы приходим к уравнению

Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель 1 − cos x/1 − sin x. Поэтому уравнение можно записать в виде

Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2kπ.

Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение

Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:

(sin² x − cos² x) + sin x cos x (sin x − cos x) = (sin x − cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).

Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin² x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.