Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Следовательно,

Условие cos8 x − cos² x = cos² x (cos6 x − 1) ≥ 0 является следствием данного уравнения. Если cos² x = 0, то x = π/2 + πk; эти значения x удовлетворяют первоначальному уравнению. Если же cos² x = 1, то исходное уравнение примет вид

cos² 3x − cos 3x + ¼ = 0, т. е. cos 3x = ½.

Из первого условия cos² x = 1 находим x = πk. Так как cos 3πk ≠ 2 , то в этом случае решений мы не получаем.

На этом примере хорошо видно, что отказ от равносильных преобразований может позволить решить задачу проще и короче.

Ответ. π/2 + nπ.

13.28. Данное уравнение равносильно системе

решая которую найдем ах = kπ и x = 2nπ. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

kπ/a = 2nπ, т. е. k/a = 2n.

Это в том случае, если а ≠ 0. Но если а = 0, данное уравнение примет вид cos x = 1 и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, k = 2nа.

Если а = p/q — рациональное число, то k = 2np/q. Это значит, что при всех n, кратных q, мы будем получать корень данного уравнения x = 2nπ, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда при всех n, кроме n = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение x = 0.

Ответ. а — иррациональное.

13.29. Так как второе уравнение легко приводится к виду

sin (2x − y) = 0,

то y = 2x + πk. После подстановки этих значений y в первое уравнение получим

4 tg Зх = 3 tg 4x, или 4 (tg 4x − tg Зх) = tg 4x.

Используя простые преобразования, приходим к равносильным уравнениям:

Выражение, стоящее в скобках, может обратиться в нуль лишь при условии, что cos x, cos 2x, cos Зх одновременно равны по абсолютной величине единице. Это означает, что непременно |cos x| = 1, т. е. корнями выражения, заключенного в скобки, могут быть лишь числа x = πn, являющиеся также и корнями множителя sin x. (Обратите внимание на то обстоятельство, что здесь нельзя написать x = πk, поскольку буква k уже занята в записи решения второго уравнения.)

Таким образом, все решения данной системы содержатся в системе чисел x = πn, y = π(2n + k), которую можно переписать так: x = πn, y = πk. Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что каждая пара из системы этих значений x и y является решением.

Ответ. x = πk, y = πn.

13.30. Преобразовав левую часть второго уравнения в разность косинусов, получим

cos (2y + x) = О, откуда 2y = 2 − x + kn.

Приведем теперь первое уравнение системы к виду, удобному для логарифмирования:

При подстановке в правую часть значения 2y, полученного ранее, придется рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

Если k = 2p, то

2y = π/2 − x + 2pπ

и sin 2y = cos x. Уравнение (1) преобразуется к виду

Если же k = 2p + 1, то

2y = π/2 − x + π + 2pπ = 3π/2 − x + 2pπ

и sin 2y = −cos x. Уравнение (1) теперь примет вид

Поскольку значения x, при которых cos x = 0, удовлетворяют как уравнению (2), так и уравнению (3), то значениям x = (2n + 1)π/2 соответствуют все целые значения k. Поэтому

2y = π/2 − x + πk = π − πn + πk = π(k − n + 1).

Так как k − n + 1 принимает все целые значения для любого фиксированного k, то можно обозначить k − n + 1 = p. Получаем систему решений

Остается приравнять нулю, выражения, стоящие в скобках в уравнениях (2) и (3).

Для уравнения (2) имеем

sin x + cos 2x = 0, cos 2x = cos (x + π/2),

откуда x2 = (4n + 1)π/2, x3 = (4n − 1)π/6. Получаем еще две системы решений (здесь k = 2p)

Для уравнения (3)

cos 2x − sin x = 0, cos 2x = cos (π/2 − x),

откуда x4 = (4n − 1)π/2, x5 = (4n + 1)π/6. В этом случае k = 2p + 1, и мы находим еще две системы решений

Нетрудно заметить, что вторая и четвертая системы решений содержатся в первой.

Проверка не нужна. (Докажите.)

Ответ.

13.31. Перепишем систему в виде

Введем обозначения: sin x = u, sin y = v. Получим систему

Воспользуемся заменой v = ut:

откуда

5(t² − 3t) = 21 − t²,

т. е.

2t² − 5t − 7 = 0, t1 = 7/2, t2 = −1.

Если t = 7/2, то из первого уравнения последней системы мы получим

u² = 4/7; u ±2/√7; v = ut = ±2/√7 7/2 = ±√7,

что невозможно, так как v = sin y.

Если же t = −1, то u² = ¼, u = ±½.

Приходим к совокупности двух систем

Ответ.

13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:

sin y + sin (2x − y) = sin y,

т. е. sin (2x − y) = 0, откуда y = 2x + nπ. Подставим в первое уравнение системы

4 tg 3x = 3 tg 4x.

При условии что cos 3x ≠ 0 и cos 4x ≠ 0, это уравнение равносильно такому:

4 sin 3x cos 4x − 3 sin 4x cos 3x = 0,

или

sin 3x cos 4x − 3 (sin 4x cos 3x − sin 3x cos 4x) = 0,

sin 3x cos 4x − 3 sin x = 0.

Так как sin 3x cos 4x = ½(sin 7х − sin x), то придем к уравнению

7 sin x = sin 7x.

По индукции можно доказать, что

sin пх ≤ n|sin x|,

причем равенство достигается лишь при x = kπ. Следовательно, уравнение 7 sin x = sin 7х имеет решения x = kπ.

При этом cos 3x ≠ 0 и cos 4x ≠ 0.

Подставляя в выражение для y, получим y = nπ.

Ответ. x =kπ, y = kπ.

13.33. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

2 = sin² y + 5 cos² y,

откуда cos² y = ¼, т. е. cos y = ±½.

Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим к совокупности двух систем

Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто: достаточно выбрать sin x и sin y так, чтобы они имели одинаковый знак (для cos x и cos y мы это уже обеспечили). Оба этих требования означают, что x и y должны лежать в одной четверти.

Решая первую систему, получим

Значения x и y будут лежать в одной четверти, если мы одновременно возьмем только верхние или только нижние знаки.

Аналогично поступаем со второй системой.