Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = nπ/3, либо |sin 3x| = 1 и x = π/6 + nπ/3. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.

Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда

Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта

sin² 3x (sin² 3x − 1) ≥ 0.

Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две возможности: либо sin² 3x = 0, либо sin² 3x = 1. Если sin² 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin² x = 0, т. е. x = πk. Если sin² 3x = 1, то придем к квадратному уравнению

sin² x − sin x + ¼ = 0, откуда sin x = ½.

Ответ. nπ; π/6 + 2kπ; 5π/6 + 2kπ.

13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от x + y/2 и x − y/2 и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида

(2 cos x + y/2 − cos x − y/2)² + sin² x − y/2 = 0.

Это уравнение эквивалентно системе

Решая второе уравнение системы, найдем

x − y/2 = nπ,

откуда x − y = 2nπ, а x = y + 2nπ.

Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим

2 cos (y + nπ) − cos nπ = 0.

Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y − 1 = 0, откуда cos y = ½.

При n = 2k + 1 получим −2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = ½. Таким образом,

y = 2πm ± π/3, а x = y + 2nπ = 2π(n + m) ± π/3.

В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:

Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = 3/2 − cos x, где A = 1 − cos x, В = sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть

Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы

(1 − cos x)² + sin² x ≥ (3/2 − cos x)²

или

cos² x − cos x + ¼ ≤ 0,    т. е. (cos x − ½) ≤ 0.

Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = ½, откуда

x = 2nπ ± π/3.

Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим

y = 2mπ ± π/3.

Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.

Ответ. x = 2nπ ± π/3, y = 2mπ ± π/3; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в предположении, что а ≠ π/2 (2n + 1)), получим

Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим

Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b = 1, т. е. b = 1, а = π/4 + kπ. Случай а = (2n + 1)π/2 приводит к равенству tg x + ctg x = b − 1, которое является неабсолютным тождеством.

Способ 2. Равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b

должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)π/2. Аналогично для x = π/4 получим, что либо tg (а − π/4) = b − 1/2, либо а − π/4 = π/2 + πn, т. е. а = 3π/4 + πn.

Итак, если а ≠ (2n + 1)π/2 и а ≠ 3π/4 + πn, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:

tg а = b,   tg (а − π/4) = b − 1/2.

Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде

откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = π/4 + nπ. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим

tg x + tg (π/4 + nπ − x) + tg x tg (π/4 + nπ − x) = 1

или

т. е. равенство

являющееся неабсолютным тождеством.

Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)π/2, то приходим к равенству tg x + ctg x = b − 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = 3π/4 + πn, то tg а = −1 и, следовательно, b = tg а = −1. При этом исходное равенство принимает вид

tg x + ctg (x − π/4) + tg x ctg (x − π/4) = −1.

Оно является неабсолютным тождеством, так как при π/4 < x < π/2 функции tg x и ctg (x − π/4) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна −1.

Ответ. а = π/4 + nπ, b = 1.

13.43. Оценим левую часть уравнения:

С увеличением cos² 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos² 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.

Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему

Ответ.

13.44. Представив данное уравнение в виде

sin 2x − sin x cos 2x = 3/2,

оценим левую часть. Чтобы оценить выражение

A sin 2x + В cos 2x,

его нормируют, т. е. представляют в виде

Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + α), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В = −sin x. Поэтому

Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит √2, а правая часть равна 2, что больше √2, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Нет решений.

13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов: