Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ.  

где одновременно берут либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.34. Так как sin πx²/2 = 1, то

πx²/2 = π/2 + 2πn,

откуда x² = 4n + 1 и

Подставив во второе уравнение, найдем

Чтобы это равенство выполнялось, необходимо

откуда n ≤ 2.

Ответ.  

где n = 0, 1, 2. Всего 12 решений (10 не совпадающих).

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg y = 2 tg x. Так как x + y = π − z, то tg z = −tg (π − z) = −tg (x + y).

По формуле тангенса суммы получаем

Применение неабсолютного тождества не приводит к потере решений, так как tg x и tg y входят в данную систему.

Подставляем в первое уравнение

откуда tg² x = 1, x = kπ ± π/4. Найти y и z теперь не составляет труда.

Производя вычисления отдельно для x = kπ + /4 и для x = kπ − /4, после проверки получим решение системы.

Ответ.

13.36. Так как в уравнения системы входят одновременно tg x и ctg x, tg y и ctg y, то неизвестные не могут принимать значения kπ/2. С учетом этого данную систему можно записать сначала так:

а затем так:

откуда а tg y = 2 tg x.

Если а = 0, то tg x = 0, а ctg x не существует. Поэтому а ≠ 0 и tg y = 2/a tg x. Подставляем в первое уравнение системы 

tg x + a/2 tg x = a,   т. е. 2 tg² x − 2a tg x + a = 0.

Решаем последнее уравнение:

и находим tg y:

Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен а² − 2a. Он неотрицателен, если а ≤ 0 или а ≥ 2. Значение а = 0 нужно исключить.

При остальных а ни tg x, ни tg y не обращаются в нуль и существуют. Остается сделать проверку.

Ответ. Если а < 0 или а ≥ 2, то

где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.

13.37. Перенесем sin y и cos y в правую часть:

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

1 = 2 − 2(sin α sin y + cos α cos y),

т. е. cos (y − α) = ½. Таким образом, y − α = 2nπ ± π/3. Аналогично найдем x − α = 2kπ ± π/3.

Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим x = α + 2kπ ± π/3 и y = α + 2nπ ± π/3 в данную систему:

Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для x и y.

Если в выражениях для x и y взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему

откуда следует

tg (α + π/3) = tg α или ctg (α + π/3) = ctg α,

что неверно при всех α.

Если взять разные знаки, то

sin (α + π/3) + sin (α − π/3) = 2 sin α cos π/3 = sin α,

cos (α + π/3) + cos (α − π/3) = 2 cos α cos π/3 = cos α,

т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.

Ответ.

где берутся или только верхние, или только нижние знаки.

Замечание. Найдя y = α + 2nπ ± π/3, можно было искать x с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.

13.38. Первое уравнение перепишем в виде

sin (x − y) − cos (x + y) = 2a.

Из второго найдем

cos (x + y) = cos [2 arcsin (a + ½)] = 1 − 2 sin² [arcsin (a + ½)] = 1 − 2(a + ½)² = ½ − 2a² − 2a.

Следовательно,

sin (x − y) = 2a + cos (x + y) = ½ − 2a² = 1 − 4a²/2.

Прежде чем решать систему

выясним, при каких а она имеет решение.

Первоначальная система накладывает на параметр а такие ограничения: |а| ≤ 1, | а + ½| ≤ 1, где первое — следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения арксинуса.

Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (4):

Итак, если параметр а лежит на интервале −√3/2 ≤ а ≤ ½, то систему (4) можно переписать в виде

Решая эту систему, найдем x и y. Остается сделать проверку.

Ответ. При −√3/2 ≤ а ≤ ½

13.39. Обозначим tg² x = u, tg² y = v. Тогда в левой части уравнения получим u² + v² + 2/uv. Это выражение не может стать меньше, чем 2uv + 2/uv, так как u² + v² ≥ 2uv. Выражение 2uv + 2/uv тоже легко оценить:

2[uv + 1/uv] ≥ 4,

причем равенство в первом и во втором случаях достигается лишь при u = v = 1.

Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства, не может стать меньше 4, в то время как правая часть этого равенства не может превзойти 4. Остается единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4. Получаем систему

Второму уравнению удовлетворяют значения x = ±π/4 + kπ, y = ±π/4 + nπ, где знаки берутся в произвольных сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда в выражениях для x и y взяты одинаковые знаки.

Ответ.

13.40. Способ 1. Умножив sin² x на sin² 3x + cos² 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin² 3x, получим

sin² x cos² 3x + sin² 3x(sin² x − sin x + ¼) = 0,

или

sin² x cos² 3x + sin² 3x(sin x − ½)² = 0.

Последнее уравнение эквивалентно системе

Корни первого уравнения найти нетрудно:

x1 — nπ, x2 = π/6 + nπ/3.

Подставляя x1 во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x2, получим

sin (π/2 + nπ) [sin (π/6 + nπ/3) − ½] = 0.

Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:

sin (π/6 + nπ/3) = sin π/6.

Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin α = sin β, то либо α − β = 2kπ, либо α + β = (2k + 1)π), получим

π/3 + nπ/3 = (2k + 1)π, откуда n = 6k + 2,

и

nπ/3 = 2kπ, откуда n = 6k.

Таким образом,

x1 = nπ, x2 = π/6 + 2kπ, x3 = 5π/6 + 2kπ.

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

4 sin² x − 4 sin x sin² 3x + sin² 3x = 0,

т. е.

(2 sin x − sin² 3x)² + (sin² 3x − sin4 3x) = 0.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то

Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = nπ/3, либо |sin 3x| = 1 и x = π/6 + nπ/3. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.