Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

4у²(y − 1) − 3(y − 1) = 0,    (y − 1)(4у² − 3) = 0.

Если cos x/2 = 1, то x1, = 4πn. Если 4 cos² x/2 = 3, то cos x = ½ и x2 = 2πn ± π/3.

Ответ. 4πn; 2πn ± π/3.

13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:

2√2(1 + sin 2x + cos 2x) = 4√2 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (π/4 + x). В итоге получаем уравнение

которое равносильно системе

Условие sin x sin (π/4 − x) ≠ 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (π/4 − x) ≠ 0, получим уравнение

cos x cos (π/4 − x)[sin (π/4 + 2x) − 1] = 0.

Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (π/4 − x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (π/4 − x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (π/4 + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (π/4 − x) ≠ 0, или cos (π/4 − 2x) − cos π/4 ≠ 0, т. е. cos (π/4 − 2x) ≠ 1/√2, или sin (π/4 + 2x) ≠ 1/√2. Теперь ясно, что в уравнение sin (π/4 + 2x) = 1 не попали посторонние корни.

Ответ. π/2 + nπ; −π/4 + nπ; π/8 + nπ.

13.20. Перепишем данное уравнение в виде

т. е.

После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x > 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:

y² − 4у − 4 = 0,   т. е. y1,2 = 2 ± 2 √2.

Положительный корень заведомо посторонний. Остается

cos x = 2 − 2 √2.

Ответ. x = π(2n + 1) ± arccos |2( √2 − 1)|.

13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos² x − 1), то данное уравнение можно переписать в виде

sin x [4 cos x (2cos² x − 1) − m/cos x] = 0.

Если sin x = 0, то x = kπ. Это — корни данного уравнения, поскольку cos kπ ≠ 0.

Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению

8 cos4 x − 4 cos² x − m = 0,

среди корней которого не должно быть cos x = 0.

Решая это биквадратное уравнение, получим

Так как m > 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x ≠ 0). Воспользуемся формулой

и преобразуем уравнение к виду

Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно

откуда m ≤ 4.

Ответ. При m > 0 уравнение имеет решение x = nπ; при 0 < m ≤ 4:

13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

Приведя подобные члены, получим

откуда

и

Ответ.

13.23. Так как

sin kх sin k²x = 1 {cos [(k − 1)kx] − cos [k(k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде

 откуда

Ответ.  где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.

13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде

2 cos x − cos 2x − cos² 2x = 0,

или

2 cos x − cos 2x (1 + cos 2x) = 0.

Выражение в скобках равно 2 cos² x. Поэтому

cos x (1 − cos x cos 2x) = 0.

Если cos x = 0, то x = π/2 + nπ.

Если cos x cos 2x = 1, то

Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos² x − 1, т. е. cos² x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2nπ.

Для второй системы аналогично получим cos² x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = −1.

Ответ. π/2 + nπ; 2nπ.

13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

Первая система может быть переписана так:

откуда

(Для k и n берутся только неотрицательные значения.) Приравнивая различные выражения для x, получим k² = n² + 1, откуда (k − n)(k + n) = 1. Так как k и n — целые и неотрицательные, то

и, следовательно k = 1, n = 0.

Теперь x определяется однозначно: x = 4.

Решаем вторую систему:

где k, n = 0, 1, 2, ... .

Приравнивая правые части последней системы, получим

(2k + 1)² − (2n + 1)² = 4, или (k − n)(k + n + 1) = 1.

Так как n и k — целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

которая не имеет целых решений.

Ответ. 4.

13.26. Данное уравнение можно переписать в виде

sin³ x + cos³ x = sin² x + cos² x,

откуда

sin² x (1 − sin x) + cos² x (1 − cos x) = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Если в первом уравнении sin x = 0, то cos x ≠ 0. Получаем систему решения которой: x = 2kπ.

Если в первом уравнении 1 − sin x = 0, т. е. sin x = 1, то cos x ≠ 1. Приходим к системе

решения которой: x = π(4k + 1)/2.

Ответ. 2kπ; π(4k + 1)/2.

13.27. Способ 1. Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: cos x cos 3x, знак которого зависит от знака cos x, так как из данного уравнения следует, что cos 3x ≥ 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если cos x > 0, то перепишем данное уравнение в виде

cos² 3x + ¼ cos² x − cos x cos 3x = cos 3x cos4 x − cos 3x cos x,

или

(cos 3x − ½ cos x)² + cos x cos 3x (1 − cos³ x) = 0.

В левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,

По предположению cos x > 0. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда cos 3x > 0. Заметим, что

1 − cos³ x = (1 − cos x)(1 + cos x + cos² x),

причем всегда 1 + cos x + cos² x > 0. В итоге приходим к системе

которая несовместна, так как при cos x = 1 мы получим cos 3x = 1, а не ½.

2. Если cos x = 0, то cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x = 0, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: x = π/2 + nπ.

3. Если cos x < 0, то преобразуем уравнение к виду

(cos 3x + ½ cos x)² + cos 3x cos x (−1 − cos³ x) = 0,

в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю 1, это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).

Способ 2. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно cos 3x:

cos² 3x − cos 3x cos4 x + ¼ cos² x = 0.