Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ. ½ arccos 1 − 2a/3; π ± ½ arccos 1 − 2a/3; 2π − ½ arccos 1 − 2a/3 (существуют при −1 ≤ a ≤ 2);

½ arccos (1 − 2a); π ± ½ arccos (1 − 2a); 2π − ½ arccos (1 − 2a) (существуют при 0 ≤ a ≤ 1).

13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

sec² (17 + 8 sin x − 16 cos² x) = sec² x (1 + 8 sin x + 16 sin² x) = sec² x (1 + 4 sin x)².

Данное уравнение принимает вид

|1 + 4 sin x|/|cos x| = 2 tg x (1 + 4 sin x).

Если 1 + 4 sin x = 0, то x = nπ + (−1)n + 1 arcsin ¼. Это — корни нашего уравнения, так как cos x ≠ 0 и tg x существует.

Если 1 + 4 sin x ≠ 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.

Пусть 1 + 4 sin x > 0, т. е. sin x > −¼. Тогда придем к уравнению

1/|cos x| = 2 tg x,  или  2 tg x|cos x| = 1,

которое равносильно совокупности систем

Вторая система не имеет решений при sin x > −¼. Решение первой: x = π/6 + 2nπ.

Пусть, наконец, 1 + 4 sin x < 0, т. е. sin x < −¼. Уравнение

2 tg x |cos x| = −1,

к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:

Вторая система не имеет решений при sin x < −¼, а первая дает нам x = −π/6 + 2nπ.

Ответ. nπ + (−1)n + 1 arcsin ¼; ±π/6 + 2nπ.

13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos² x/2, а tg x − sin x = 2 tg x sin² x/2, данное уравнение можно записать в виде

√2 tg½ x(|cos x/2| + |sin x/2| − √2 cos x) = 0.

Первые решения получим при tg x = 0; x = kπ. Остальные решения нам доставят корни уравнения

|cos x/2| + |sin x/2| = √2 cos x,

при которых tg x > 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x > 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x ≥ 0. Получим систему

Так как одновременно tg x > 0 и cos x > 0, то sin x > 0. Поэтому

|sin x| = sin x.

Приходим к уравнению

2sin² x + sin x − 1 = 0.

Решая его, найдем

|sin x| = −1 ± 3/4.

Так как |sin x| ≥ 0, то остается решить уравнение

|sin x| = ½,

корнями которого будут числа

x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk.

Остается вспомнить, что tg x > 0.

Ответ. kπ, π/6 + 2kπ.

13.14. При замене 1/sin 4x на  можно ожидать потери корней, при которых tg 2x не существует, или, что то же самое, cos 2x = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается в нуль и sin 4x, т. е. потери корней не произойдет.

Так как в левую часть уравнения

ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg² 2x)1/tg 2x

входит ctg 2x, то, заменив 1/tg 2x на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена 1/tg 2x = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению

3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,

условие

ctg 2x существует.

Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.

Преобразуем уравнение следующим образом:

2(tg 3x − tg x) + tg 3x − tg 2x = 0,

т. е.

Теперь систему можно переписать так:

Так как sin 2x ≠ 0, то на него можно сократить. Получим уравнение

cos 2x = −¼,

откуда x = ±arccos(−¼) + kπ. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.

Ответ. ±arccos(−¼) + kπ.

13.15. Данное уравнение равносильно системе

Пусть sin x² + cos x² = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x² cos x² = y², откуда

sin x² cos x² = y² − 1/2.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

y² − 2y − 3 = 0,

откуда y1 = −1, y2 = 3. Второй корень посторонний, так как sin x² + cos х² всегда меньше двух.

Если sin x² + cos x² = −1, то

cos (х² − π/4) = −1/√2 и x² = 2nπ ± 3π/4 + π/4.

Взяв знак плюс, получим x² = π(2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x² ≠ 0.

Для знака минус получим, что x² = −π/2 + 2nπ. Это тоже посторонний корень, так как cos x² ≠ 0.

Ответ. Нет решений.

13.16. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin² x + cos² x:

3 sin³ x − cos³ x − 2 sin x cos² x = 0.

Обозначим tg x через y, получим

3y³ − 2y − 1 = 0, или (y − 1)(3y² + 3y + 1) = 0,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = π/4 + nπ. Однако cos 2x при x = π/4 + nπ обращается в нуль.

Ответ. Нет решений.

13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg x/2:

y(2y³ − 7у² − 2y + 1) = 0.

В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg x/2 теряет смысл при x = π(2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ±½. Убеждаемся, что y = −½ — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y³ − 7у² − 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y² − 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + √3, y = 2 − √3.

Если tg x/2 = 2 + √3, то

то же самое мы получим и при tg x/2 = 2 − √3.

Так как и обратно из sin x = ½ следует, что

то совокупность уравнений tg x/2 = 2 + √3 равносильна уравнению sin x = ½. Получаем x = kπ + (−1)kπ/6.

Ответ. 2πk; kπ + (−1)k π/6; 2πk − 2 arctg ½.

13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду

2 cos x = 1 + cos 3x/2.

С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos x/2:

4y³ − y² − 3y + 3 = 0.

Левую часть легко разложить на множители:

4у²(y − 1) − 3(y − 1) = 0,    (y − 1)(4у² − 3) = 0.