Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При loga x ≥ 1, т. е. при x ≥ а > 1, получим уравнение

Так как а > 1, то x > а.

При 0 < loga x < 1, т. е. при x < а, получим второе значение неизвестного:

которое будет меньше а, так как а > 1.

Ответ. При

11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.

Прологарифмируем оба уравнения:

Так как x > 0 и y > 0, то разделим первое уравнение на второе:

а потому

Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:

Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.

Так как значения y = 0 и y = −1 исключены, то остается

Вспомнив, что log3 15 = 1 + log3 5, получим

и найдем x.

Ответ.

11.21. Возведем второе уравнение в степень y

1024 = (2x/3)2y

и воспользуемся тем, что xy = 243. Так как 1024 = 210, а 243 = 35, то получим

210 = (⅔)2y · 310, откуда (⅔)10 = (⅔)2y

и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.

Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.

Ответ. (3, 5).

11.22. Из самого вида системы следует, что x > 0, y > 0. Из второго уравнения имеем

а после подстановки в первое

Если y ≠ 1 (случаи y = 0 и y = −1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

Подставляя в первое уравнение, найдем  Следовательно,

откуда получаем x1 = 16/81, у1 = 4/9. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.

Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.

Ответ. (16/81, 4/9), (1, 1).

11.23. Так как

то

Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив  получим

(21 − 2u)(16 − u) − 2u³ = 71,

а после раскрытия скобок

u = 5, т. е. y = 2.

Остальные неизвестные находятся легко.

Ответ. (2, 2, 1).

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2x + 2у (x · 2x − y + 1 + 3y · 22x + y) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2x + 2у + 1 = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = −2y − 1.

После подстановки в первое уравнение системы получим

2−3y − 3 = 1/−4 − 5y, или 23(y + 1) = −(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

−(4 + 5у) > 0, т. е. y < −4/5.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < −1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. −(4 + 5у) < 1, откуда y > −1. Поскольку ограничения y < −1 и y > −1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > −1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < −1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = −1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, −1).

11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде

log8 (y − x)³ = log8 (3y − 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y − x)³ = (3y − 5х)(х² + y²).

Если x ≠ 0, то разделим последнее уравнение почленно на x³ и обозначим y/x = u. Получим уравнение относительно u:

u³ − 5u² + 6u = 0,

которое имеет корни: u1 = 0, u2 = 2, u3 = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±√5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = −√5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = √5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x² = ½, откуда

x =±1/√2, y = ±3/√2

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = 1/√2, y = 3/√2.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (−1, −2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (−√5, 0); (1/√2, 3/√2); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log3² x − 8log3 x + 4 = 0,

откуда x1 = 3⅔, x2 = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство  (оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим

т. е.  или

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x − y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = 3/x, найдем x² = 27/7, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x − y < 1 выполняется.

Если x − y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = 3/x, получим уравнение

x4 − 8x² − 9 = 0.

Так как x² ≠ −1, то остается x² = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x − y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x − y > 0, что уже сделано.