Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов:

(sin x cos x/4 + cos x sin x/4) − (2 sin² x + 2 cos² x) + cos x = 0,

т. е.

sin 5x/4 + cos x = 2.

Так как sin 5x/4 ≤ 1 и cos x ≤ 1, то последнее уравнение равносильно системе

Решения второго уравнения x = 2πk подставим в первое уравнение. Выражение sin 5πx/2 перепишем в виде sin (2πk + 5πx/2) = sin πk/2, откуда следует, что sin 5x/4 = 1 лишь при k = 4n + 1.

Ответ. x = 2π(4n + 1).

13.46. Введем новое неизвестное

Получим квадратное уравнение относительно y:

корни которого

Обозначим  и подставим в (6) вместо y его выражение (5) через x. Получим следствие исходного уравнения

т. е.

±z² + 4z − 5 = 0.    (7)

Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z1 = −5, z2 = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,

cos (x − π/4) = 1, откуда x = π/4 + 2nπ.

Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ. x = π/4 + 2nπ.

13.47. Система уравнений может быть переписана так:

Если cos x = 0, то x = (2k + 1)π/2 и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.

2 cos² 7x/2 = 1    и    cos² 7x/2 = ½.

Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos² x/2 = ½. Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем

в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений

cos x/2 = ±1/√2, т. е. cos² x/2 = ½,

откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)π/2. Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| < 5.

Ответ. x = ±π/2, ±3π/2.

13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = sin x/cos x, tg² x = 1/cos² x − 1, а cos x ≠ 0:

Для правой части уравнения получим

При cos x ≠ 0 и дополнительном ограничении cos 2x ≠ 0 приведем исходное уравнение к виду

2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos 6x/5.

Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x − sin x) и уравнение примет вид

sin 3x = cos 6x/5 + 2.

Такое возможно лишь при условии, что одновременно

cos 6x/5 = −1, а sin 3x = 1.

Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:

Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos 6x/5 = −1 найдем, что

6x/5 = π(2k + 1),   т. е.   x = 5(2k + 1)π/6.

Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку

3x = 5(2k + 1)π/2 = 5πk + 5π/2,

то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.

При k = 2n, т. е. k — четном

3x = 10πn + 5π/2 = 10πn + 2π + π/2.

Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin π/2 = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то

3x = 5π(2n + 1) + 5π/2 = 10πn + 5π + 2π + π/2 = 10πn + 4π + π + π/2,

т. е. sin 3x = −1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.

Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)π/6. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)

Перейдем к ограничению cos x ≠ 0. Преобразуем выражение для x:

x = 20πn/6 + 5π/6 = 10πn/3 + 5π/6.

Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m − 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m − 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m − 1 удобнее.)

Для n = 3m получим

x = 10πm + 5π/6,   cos x = cos 5π/6 ≠ 0;

при n = 3m + 1:

x = 10π3m + 1/3 + 5π/6 = 10πm + 10π/3 + 5π/6 = 10πm + 25π/6 = 10π0 + 4π + π/6,

т. е. cos x = cos π/6 ≠ 0,

при n = 3m − 1:

x = 10π3m − 1/3 + 5π/6 = 10πm − 10π/3 + 5π/6 = 10πm − 15π/6 = 10πm − 2π − π/2,

т. е. cos x = cos (−π/2) = 0.

Итак, значение n = 3m − 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x ≠ 0 удовлетворяется.

Остаются два варианта:

x = 5(12m + 1)π/6, x = 5(12m + 5)π/6, m = 0, ±1, ±2.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x ≠ 0 для каждого из найденных значений.

Ответ. 5(12m + 1)π/6; 5(12m + 5)π/6.

13.49. Обе части уравнения существуют, если cos x ≠ 0, sin 2x ≠ 0, cos 2x ≠ 0.

Все эти ограничения равносильны условию sin 4x ≠ 0, поскольку

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.

Если sin 4x ≠ 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:

tg² x + 1 = 1/cos² x, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.

Тогда

Так как cos 2x ≠ 0, cos x ≠ 0, то

4 cos² x − 1 = cos 3x/sin x.

Поскольку 2 cos² x = 1 + cos 2x и sin x ≠ 0, получим

2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,

или

sin 3x − sin x + sin x = cos 3x,

т. е. tg 3x = 1, откуда 3x = π/4 + πk = π/4(4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = π/12(4k + 1).

Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x ≠ 0, т. е. 4x ≠ πn, x ≠ πn/4.

Равенство

π/12(4k + 1) = πn/4, или π/3(4k + 1) = πn,   (8)

может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m − 1. Тогда для 4k + 1 получим

4(3m) + 1 = 12m + 1,

4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,

4(3m − 1) + 1 = 12m − 3 = 3(4m − 1).

Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.