Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Ответ. π/12(12m + 1); π/12(12m + 5).

13.50. Представим уравнение в виде

2(tg x + ctg 2x) + (tg x/2 + ctg 2x) + (ctg 2x − ctg 3x) = 0.

Преобразуем

(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x ≠ 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)

Аналогично

(Во второй дроби sin x − общий множитель числителя и знаменателя. Однако сокращать на него не следует, хотя это и возможно).

Таким образом, уравнение примет вид:

После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:

Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:

Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x ≠ 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin 5x/2 = 0, что имеет место при 5x/2 = πk, т. е. при x = 2πk/5, где k = 0, ±1, ±2.

Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.

При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n ± 2 знаменатель в нуль не обращается.

Ответ. 2π(5n ± 1)/5, 2π(5n ± 2)/5.

13.51. Ограничения sin t ≠ 0 и cos t ≠ 0 объединяет условие sin 2t ≠ 0. Учтем, что

sin 3t − sin t = 2 sin t cos 2t,    ctg² t + 1 = 1/sin² t.

Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t ≠ 0) примет вид

или

Так как 2 cos² t = 1 + cos 2t, а 2 sin² t = 1 − cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим

cos t = 1/2 cos 2t − 1,

где cos 2t ≠ 0.

Если cos 2t ≠ ½, то

2 cos 2t cos t − cos t = 1,

или

cos 3t + cos t − cos t = 1,

т. е. cos 3t = 1 и t = 2πk/3 , k = 0, ±1, ±2, ... .

Остается учесть все ограничения:

sin 2t ≠ 0, cos 2t ≠ 0, cos 2t ≠ ½.

Условия sin t ≠ 0, cos t ≠ 0, cos 2t ≠ 0 можно объединить: sin 4t ≠ 0. Из значений неизвестного t = 2πk/3 нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = ½. Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m − 1. Итак, остались для проверки значения:

t = 2π(3m + 1)/3   и   t = 2π(3m − 1)/3.

Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2π(3m + 1)/3] и cos[2π(3m − 1)/3]

cos[2π(3m + 1)/3] = cos (2πm + 2π/3) = cos 2π/3 = −½,

cos[2π(3m − 1)/3] = cos (2πm − 2π/3) = cos (−2π/3) = −½.

Ответ. 2π(3m ± 1)/3. 

Глава 14

Тригонометрические неравенства

14.1. Неравенство равносильно такому:

sin² x > cos² x,

т. е.

cos² x − sin² x < 0, cos 2x < 0,

откуда

π/2 + 2nπ < 2x < 3π/2 + 2nπ.

Ответ. π/4 + nπ < x < 3π/4 + nπ.

14.2. Перепишем неравенство в виде

1/√2 cos x − 1/√2 sin x < −1/√2,

откуда

cos  (x + π/4) < −1/√2,

 т. е.

3π/4 + 2nπ < x + π/4 < 5π/4 + 2nπ

Ответ. π/2 + 2nπ < x < π + 2nπ.

14.3. Способ 1. Неравенство sin x < 3 cos x равносильно совокупности трех систем

Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.

Способ 2. Запишем данное неравенство так:

При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg x/2 не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = π(2n + 1). Убеждаемся, что

sin π(2n + 1) − 3 cos π(2n + 1) = 3,

т. е. эти точки не являются корнями неравенства.

Приходим к квадратному неравенству

3 tg² x/2 + 2 tg x/2 − 3 < 0,

откуда

Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.

Ответ. arctg 3 + π(2n + 1) < x < arctg 3 + 2πn.

14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим

Так как 1 + y² > 0, то это неравенство равносильно такому:

y³ + 2y² − y − 2 < 0.

Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:

(y + 2)(y + 1)(y − 1) < 0.

Решения этого неравенства будут лежать в интервалах

y < −2,   −1 < y < 1,

т. е.

tg x < − 2,   −1 < tg x < 1.

Ответ. −π/2 + nπ < x < −arctg 2 + nπ; −π/4 + nπ < x < π/4 + nπ.

14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.

Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x < 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x ≥ 0, а во втором — в которых cos x ≤ 0.

Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.

Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде

Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = π/2 + kπ — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x ≠ 0, и решать неравенство

Когда sin x ≥ 0, то получим tg x < −1, tg x > 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x ≤ 0, то −1 < tg x < 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).

Ответ. π/4 + 2nπ < x < 3π/4 + 2nπ; π + 2nπ ≤ x < 5π/4 + 2nπ; 7π/4 + 2nπ < x ≤ 2(n + 1)π; x = (4n − 1)π/2.

14.6. Выразим все тригонометрические функции через cos x = y. Получим неравенство

2y² + 13y + 5 ≥ |2y² − 3y + 1|.

Оно равносильно совокупности систем

или

Так как y = cos x, то −1 ≤ y ≤ 1. Учитывая это ограничение, получим