Управление проектами. Фундаментальный курс - Коллектив авторов

3. Вычислить резервы для всех работ как разность между поздними и ранними сроками выполнения работ.

4. Рассчитать временные резервы выполнения работ и определить критический путь (один или несколько) как самый длинный путь в сети.

Будем использовать в расчетах следующие обозначения для работы А: S(A) – начало работы А; F(A) – окончание работы А; D(A) – продолжительность работы А.

Модели с дискретным и непрерывным временем

Привязка сетевых моделей (и диаграмм) к календарю зависит от представления времени в проекте. Выделяют модели с дискретным временем и с непрерывным.

В моделях с непрерывным временем предполагается, что продолжительность работ может быть любым действительным числом, например, D(A) = 3,3245 дня. При этом каждый момент времени проекта измеряется секундомером, начавшим свой отсчет в момент старта проекта (отметка – 0). Поэтому если работа заканчивается в момент времени 3,3245 (его можно интерпретировать как событие), то в тот же самый момент может начаться другая работа B, связанная с прежней простым отношением предшествования. Математически это можно записать так: F(A) = S(B) = 3,3245. Для моделей с непрерывным временем справедливы формулы:

1. Для любой работы A выполняется равенство: F(A) = S(A) + D(A).

2. Для любого отношения предшествования FS + d: А→ В верно S(B) ≥ F(A) + d.

В моделях с дискретным временем предполагается, что существует некоторый неделимый шаг, например, день, и: а) весь проект состоит из целого количества таких шагов; б) продолжительность работ состоит из целого количества шагов. При таких условиях, если работа А имеет продолжительность 2 дня и начинает выполняться с первого дня проекта, то она начинается в первый день (S(A) = 1) и заканчивается на второй (F(A) = 2). Другими словами, справедливо равенство: F(A) = S(A) + D(A) – 1. Если работа А предшествует работе В, то работа В может начаться сразу после окончания работы А, т. е. на третий день (весь второй день еще занят выполнением работы А). Иными словами, S(B) ≥ F(A) + 1. Обобщая, получим формулы:

1. Для любой работы A выполняется равенство: F(A) = S(A) + D(A) – 1.

2. Для любого отношения предшествования FS + d: А→В верно S(B) ≥ F(A) + d +1.

Если подставить формулу (1) в формулу (2), то получится:

3. Для любого отношения предшествования FS + d: А→В верно S(B) ≥ S(A) + D(A) + d.

Рис. 10.20. Расписание проекта с дискретным временем

Обратите внимание, что формула (3) справедлива также для моделей с непрерывным временем. Это означает, что если в проекте фиксированы продолжительности работ, то формулы, в которых все окончания работ переведены в начала, будут совпадать для непрерывных и дискретных моделей. Это, в свою очередь, означает, что расписания, рассчитанные в моделях с непрерывным и дискретным временем, будут совпадать.

Интересно отметить, что в случае моделей с дискретным временем возникает два типа вех: веха старта и веха финиша. Вернемся к примеру, приведенному на рис. 10.20, добавив между работами А и В веху. В результате получится путь A → веха → В. Веха имеет нулевую продолжительность и расположена в точности между вторым и третьим днем. Но в моделях с дискретным временем вехе нужно указать конкретный день. Поэтому либо это веха финиша во втором дне, либо веха старта в третьем дне. Веха финиша выполняется в конце дня, веха старта – в самом начале, и справедливы формулы:

Если A → веха финиша → В, то F(A) = S (веха финиша) = F (веха финиша) = S(B) – 1.

Если А → веха старта → В, то F(A) + 1 = S (веха старта) = F (веха старта) = S(A).

Именно таким образом ведет расчет система автоматизация Oracle Primavera, в отличие от системы Microsoft Project, в которой нет разделения на веху финиша и веху старта.

Модели с дискретным временем более наглядны и используются для привязки к календарю, а модели с непрерывным временем более абстрактны, но расчеты в таких моделях вести проще. Поэтому далее мы будем использовать именно такие модели.

МКП в моделях с простым отношением предшествования

Изначально МКП был разработан для моделей с простым отношением предшествования и без циклов, а в качестве сетевых диаграмм использовались диаграммы «ребро – работа». Однако мы сначала рассмотрим МКП с диаграммой «вершина – работа», которая, на наш взгляд, более удобна для использования применительно к этому методу.

Напомним, что МКП подразумевает прямой и обратный расчет сети. Рассмотрим этот алгоритм в деталях.

Прямой расчет сети. Под прямым анализом сети в литературе, как правило, подразумевается прямой ход алгоритма расчета критического пути, который заключается в расчете самых ранних возможных сроков выполнения работ.

Допустим, мы уже сформировали порядок работ, в соответствии с которым каждая последующая работа имеет только уже перечисленных ранее предшественников, и перенумеровали работы в соответствии с этим порядком[7]: a1, а2, а3, …, an (будем далее обозначать работы номерами). Тогда для каждой работы, начиная с первой и заканчивая последней, проведем вычисления самых ранних сроков начал и окончаний работ (EST[8]i и EFT[9]i – раннее начало и окончание выполнения работы i соответственно).

Допустим, 0 – начало проекта, тогда EST для работ, не имеющих предшественников, будут равны 0. Если используется модель с непрерывным временем, то самое раннее начало обычно полагают равным нулю.

Для всех работ, имеющих предшественников, верно:[10]

Словами это можно выразить так: раннее начало работы i равно максимуму из сумм ранних окончаний работ-предшественников j работы i. Так как позднее окончание работы j – это самое раннее время, когда может начаться следующая работа i, если учесть ограничение предшествования между работами i и j (см. выше), то нужно выбирать максимум. Это хорошо видно на рис. 10.21 – работа j2 находится правее j 1 и поэтому определяет раннее начало работы i.