Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

4.11. Если вместо куба, нижнее основание которого образует с плоскостью Π острый угол φ, оставить фигуру А1В1D1DВС, образованную двумя треугольниками A1B1D1, ВСD и диагональным сечением В1D1DB куба, то отбрасываемая на плоскость Π тень не изменится. Остается выразить площадь тени через ребро куба и угол φ.

K главе 5

5.2. В треугольнике АМВ рассмотреть медиану, выразить ее квадрат через стороны треугольника, воспользоваться полученными ранее соотношениями. (!!)

Доказать, что медиана МС равна AB.

5.3. Косинус угла А, участвующий в теореме косинусов, можно определить из треугольника АМО, где О — центр окружности, о которой идет речь в условии задачи. (!!)

Обратное утверждение можно доказывать в такой форме: если AC = 2ВС и 2АМ² + МВ² = АВ², то АО = МО. Здесь тоже естественно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АМВ. Единственное осложнение возникает из-за необходимости выразить cos А через линейные элементы. Можно поступить иначе: записать теорему косинусов для треугольника АМО, имеющего с АМВ общий угол А, и исключить cos А.

5.4. Два треугольника АМВ и ВМС, имеющие общую сторону ВМ, равновелики тогда и только тогда, если их высоты, опущенные из вершин А и С на общую сторону ВМ, равны.

Задача свелась к построению прямой, проходящей через точку В и равноудаленной от двух данных точек А и С. (!!)

Существуют две и только две прямые, проходящие через точку В и равноудаленные от точек А и С: одна — параллельная AC, другая проходит через середину AC.

5.5. Если прямые AB и CD пересекаются в точке N, то отрезки AB и CD следует перенести в эту точку, двигая каждый по своей прямой. После этого задача сведется к предыдущей (см. задачу 5.4). (!!)

Если прямые AB и CD параллельны, то отрезки AB и CD удобно расположить так, чтобы их центры лежали на общем перпендикуляре. Этот перпендикуляр остается разделить в отношении CD : AB.

5.6. Пусть MN — отрезок длины l, E — его середина, а длина отрезка ОО1 равна а (рис. II.5.6). Если спроецировать точку E на плоскость нижнего основания, то легко вычислить длину отрезка GO, равного отрезку EF. (!!)

Поскольку длина отрезка GO, равного отрезку EF, не зависит от расположения отрезка MN, то точка E лежит на окружности радиуса EF с центром в точке F. Остается установить обратное предположение и вспомнить о том, что отрезок не должен находиться вне куба.

K главе 6

6.1. Воспользоваться тем, что p − 1, p, p + 1 — три последовательных числа, причем p — простое, большее трех.

6.3. Если n = 2k + 1, то аn + bn = (а + b)(аn − 1 − ... + bn − 1).

6.4. Среди этих же чисел будет 125/2 = 62[16], делящихся на 8 = 2³ и т. д.

6.5. Так как сумма цифр числа делится на 81, то естественно предположить, что оно делится на 81. Однако такой признак делимости не был доказан в курсе арифметики, и поэтому придется дважды воспользоваться признаком делимости на 9. Для этого удобно разбить цифры числа на 9 групп, каждая из которых делится на 9.

6.6. Если многочлен n4 + 4 разложен на множители второй степени, то он может быть простым числом только в том случае, если один из множителей равен единице.

6.7. Чтобы убедиться, что числитель всегда делится на число, стоящее в знаменателе, его придется разложить на множители.

6.8. Способ 1. Предположим, что данная дробь сократима. Тогда 5x + 7 = qr, 2x + 3 = pr. Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно x, исключим x.

Способ 2. Рассмотреть вместо данной дроби обратную и выделить целую часть.

6.10. Пример дальнейших рассуждений: при умножении цифры с на 3 мы должны получить число, оканчивающееся на 1. Это возможно лишь при с = 7.

6.11. Так как p — число нечетное, то мы имеем три последовательно нечетных числа. Докажите, что одно из них обязательно делится на 3.

6.12. Если tg 5° — рациональное число, то cos 10° и cos 30° — тоже рациональные числа.

6.13. Сумма девяток должна быть на 10, или на 21, или на 32, или на 43, ... меньше числа, которое делится на 11. Чему должны быть равны в сумме остальные цифры?

6.14. Однородные выражения удобно преобразовывать с помощью замены у = kx. Так как x и у — целые числа, то число k — рациональное, т. е. k = p/q . Остается рассмотреть возможные значения сомножителей, произведение которых равно 17. Нужно добиться того, чтобы каждый сомножитель был целым числом.

6.15. Удобно записать уравнение в виде (x − 2у)(x + 2у) = 5² · 9 · 89 и вспомнить, что мы ищем целочисленные решения.

6.16. Условие 11(4x − 1) = 69(у − x) удовлетворяется при целочисленных значениях x и у, только если 4x − 1 = 69k, у − x = 11n. Из первого соотношения следует, что k + 1 делится на 4. Отсюда k = 3, 7, 11, ... .

K главе 7

7.1. Вынести за скобки в числителе , а в знаменателе . После этого дробь сократится.

7.2. Трехчлен 1 + x − x² является общим множителем знаменателей дробей в первой скобке.

7.3. Последнее слагаемое нужно преобразовать отдельно, после чего его можно будет объединить с первыми двумя.

7.4. Поскольку степень каждого члена числителя вдвое больше степени соответствующего члена знаменателя, то дробь целесообразно умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

7.6. Преобразовать подкоренные выражения, прибавив и вычтя из них единицу. При извлечении корня использовать условия задачи.

7.7. Можно воспользоваться формулой сложного радикала

7.9. Возвести левую часть, равную 2, в куб, воспользовавшись формулой (x + у)³ = x³ + у³ + 3xу(x + у), где x + у = 2.

7.10. Равенство а + b = − с возвести в куб, а равенство а + b + с = 0 дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно доказать.

7.11. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случай x ≥ 0, у — любое. Его придется разбить на два случая: |у| ≤ x и |у| > x. В последнем случае .

7.12. Возведенное в куб выражение преобразовать и упростить, воспользовавшись им же.

7.13. Тождественное равенство многочленов означает равенство их коэффициентов:

а³ − с³ = 0,   3(а²b − с²) = 24, ... .

Из первого равенства следует, что а = с, после чего можно упростить все другие соотношения.

K главе 8

8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.

8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях x, в частности при x = i.

8.6. Полезно заметить, что при целых значениях x ≠ 0 выражение  Это позволяет ограничиться рассмотрением таких целых у, что у² ≤ 6.

8.7. Так как все коэффициенты уравнения — рациональные числа, то можно предвидеть, что наряду с корнем √3 + 1 должен существовать корень √3 − 1.