Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

9.37. Для упрощения симметрических многочленов применяют подстановку x + 1/x = t. Здесь возможна похожая подстановка. Наличие в числителе каждой дроби множителя x упрощает решение.

9.38. Вы упростите вычисления, если обратите внимание, что 84 693 делится на 327.

K главе 10

10.1. Ввести обозначения а = 1 + k и b = 1 − k.

10.2. Обозначим выражение, стоящее в левой части неравенства, через P. Разделив его на а1а2...аn = 1, после несложных преобразований получим

Для оценки P удобно рассмотреть теперь Р² и заметить, что

10.3. Способ 1. Воспользоваться тем, что с > а и с > b, и оценить каждое слагаемое.

Способ 2. Применить свойство показательной функции, приняв во внимание, что а < с, b < с.

10.5. Использовать условие а + b + с = 1, чтобы убедиться, что неравенство будет обязательно строгим.

10.7. Показательная функция (a/b)x , в силу условия задачи, является возрастающей.

10.8. Применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел, равноотстоящих от концов в выражении n!.

10.9. Способ 1. В неравенстве (1 − u)(v − 1) > 0 (см. указание I на с. 141) раскрыть скобки и воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел uv и w.

Способ 2. Воспользоваться неравенством u/v + v/u > 2 (сложить его с полученным в указании I).

10.10. Оценить произведение (p − а)(p − b)(p − с) суммой этих чисел можно, воспользовавшись неравенством

xyz ≤ (x + y + z)³/27 .

10.12. Зная выражения у + z и уz через x, можно записать квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от x, корнями которого будут у и z.

10.13. Выразив у + z и уz через x, придем к квадратному уравнению, коэффициенты которого зависят от x. Поскольку в условии сказано, что x, у и z — действительные числа, дискриминант полученного уравнения не должен быть отрицательным. (!!)

Найденные границы изменения x, в силу симметрии данных уравнений, распространяются на у и z.

10.15. Чтобы данный трехчлен был отрицательным внутри некоторого отрезка, необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка он принимал неположительные значения.

10.16. Доказать, что условие а > 0 несовместно с требованием, в силу которого оба корня больше а.

10.17. Так как k ≠ 0 (иначе условие задачи неосуществимо), то парабола должна иметь один корень в интервале (−1, +1), а другой вне этого интервала.

Такое расположение параболы имеет место тогда и только тогда, когда значения трехчлена в точках −1 и 1 противоположны по знаку.

10.18. Если ветви параболы будут направлены вверх и, кроме того, парабола не будет пересекать положительную полуось Оx, то мы получим расположение параболы, необходимое и достаточное для выполнения условия задачи.

10.22. Числитель и знаменатель полученной дроби должны иметь разные знаки. Приходим к совокупности двух систем.

10.23. Неотрицательный множитель можно отбросить, исключив точки, в которых он обращается в нуль. Оставшееся неравенство удобно привести к виду, в котором правая и левая части неотрицательны, и возвести в квадрат с учетом соответствующих ограничений.

10.24. При x > 0 данное неравенство можно возвести в квадрат (учтя соответствующие ограничения), так как обе его части положительны. При x < 0 неравенство исследуется аналогично.

10.25. Составить квадратное неравенство относительно

10.26. Нельзя забывать о том, что под корнем должно стоять неотрицательное число, в то время как само а может быть и отрицательным.

10.27. Данное неравенство можно переписать в виде

22x ≤ 3 · 2√x · 2x + 4 · 22√x.

Поделив на 2√x · 2x, получим неравенство, сводящееся к квадратному.

10.29. При x < 0 неравенство может удовлетворяться лишь при условии, что 2x − 1/3 − x = n — целое. Отберите те значения n, при которых число x оказывается отрицательным, и ответьте на вопрос, что будет при x = 0.

10.30. Выражение х³ − 5х + 2 легко разложить на множители методом группировки: (х³ − 4х) − (x − 2).

10.31. Нужно рассмотреть два случая в зависимости от расположения а относительно единицы.

10.32. Случай x = 0 исследуется непосредственной подстановкой. При x < 0 показатель степени должен быть целым числом. Здесь придется рассмотреть подслучаи в зависимости от того, будет ли это целое число четным или нечетным.

10.35. Если после приведения всех логарифмов к общему основанию перенести все члены неравенства в одну часть, то полученное выражение разлагается на множители, одним из которых будет 2 log5 x + 1.

10.36. Обозначив log2 (2х − 1) = y, можно привести это неравенство к квадратному.

10.38. После решения алгебраического неравенства нужно вернуться к прежним обозначениям. При этом приходится рассмотреть различные случаи в зависимости от величины а.

10.39. Обозначить logk x через y, после чего получится неравенство относительно y, которое решается методом интервалов.

10.40. Так как под знаком логарифма стоит число 4х − 6, то x не может быть меньше единицы.

10.41. Разобрать случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютных величин. Таких случаев будет четыре.

10.42. Так как x − 2 > 0, то x − 1 > 1 и, следовательно, (x − 1)² > 1.

10.43. Из условия, что log2 (2 − 2х²) > 0, легко вывести, что |√2 |x|- 1| ≤ 1.

10.44. Перейти от неравенств между функциями к неравенству между аргументами и учесть необходимые ограничения.

10.46. Для положительного основания (обозначим его f(x)) нужно решить две системы

которые равносильны неравенству

(f(x) − 1)(x − 4) ≥ 0.

При f(x) < 0 следует рассмотреть случаи, когда показатель степени x − 4 — четное число.

10.47. Известно, что при неположительном дискриминанте знак квадратного трехчлена не может быть противоположен знаку старшего коэффициента. Если же дискриминант положителен, то такие точки всегда найдутся.

10.48. Поскольку из ложного утверждения следует все, что угодно, решение распадается на две части: а) находим значения а, при которых первое неравенство не имеет решений, тогда из него следует второе; б) если первое неравенство имеет решения, то они не должны выйти за рамки решений второго неравенства.

10.49. Рассмотрите варианты расположения параметра а относительно интервала (1, 2). Особое внимание обратите на граничные точки этого интервала.

10.50. Неравенство

(x + 5)[(x + 3) · 22 + x − (2 + x)] > 0

при x = −5 не удовлетворяется. Остается рассмотреть случаи x + 5 < 0 и x + 5 > 0. Далее удобно рассмотреть и случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (x + 3 = 0 тоже не является решением неравенства). (!!)

Решить неравенства

удобнее, изобразив графически функции, стоящие в левой и правой частях этих неравенств.

10.52. Данное неравенство можно преобразовать к виду:

или

10.53. Левую часть неравенства следует преобразовать к виду