Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

10.53. Левую часть неравенства следует преобразовать к виду

1 − |у|².

K главе 11

11.1. Остается заметить, что lg 2 + lg 5 = 1.

11.3. Привести уравнение к равенству степеней с одинаковыми показателями.

11.4. Обратить внимание на тот факт, что поскольку у = 3−|x − 2|, то 0 < у ≤ 1.

11.7. Если обе части уравнения разделить на 2 + √3, то придем к квадратному уравнению относительно у = (2 + √3)x² − 2x.

11.8. Совсем нетрудно найти один корень уравнения. Затем нужно попытаться доказать, что других решений нет. (!!)

Корнем будет x = 2. Докажите, что других корней нет, используя монотонность показательной функции.

11.10. Левую часть выразить через у = log3(3x − 1).

11.11. Можно обозначить logx 7 = у, но удобнее использовать другое обозначение. Какое — станет ясно, если дополнить правую часть до полного квадрата (суммы или разности?).

11.14. Когда мы заменим logx 4 · log4 x единицей, получим уравнение, которое может иметь посторонний корень x = 1. Поскольку в дальнейшем нам придется потенцировать, что снова может повлечь приобретение посторонних корней, решение необходимо закончить проверкой.

11.15. При переходе к логарифмам с основанием x мы можем потерять корень. Какой?

11.16. Чтобы воспользоваться формулой модуля перехода, нужно умножить обе части уравнения на log2 (3 + x).

11.17. Если умножить уравнение на выражение, стоящее в знаменателе, то нужно потребовать, чтобы последнее не обращалось в нуль, т. е. |x² + x − 1| ≠ 1. При потенцировании же появится еще одно ограничение.

11.18. Теперь с помощью тождества, эквивалентного определению логарифма, данное уравнение можно свести к квадратному относительно xlogb a.

11.19. Нужно помнить, что √c² = |с|, и разобрать несколько случаев, предварительно оценив из условия logа x и а. Для оценки а удобно воспользоваться неравенством t + 1/t ≥ 2 при t > 0.

11.20. Первое из уравнений, полученных после логарифмирования, разделить на второе и затем произвести потенцирование.

11.21. Нужно заметить, что 243 = 35, 1024 = 210. Теперь из второго уравнения системы с помощью первого нетрудно получить уравнение относительно (⅔)y.

11.22. Для того чтобы найти 4√x + √у, можно второе уравнение возвести в степень 3/2 и полученное выражение использовать для подстановки в первое уравнение системы.

11.23. Выразить 11xz, 11z и 11(x − 1)z через  и подставить в тождество, записанное в первом указании (см. с. 146).

11.24. Если в левой части второго уравнения вынести за скобки 2x + 2у, то в скобках останется выражение, аналогичное левой части первого уравнения. Его можно заменить числом 2.

11.25. Здесь удобно не заботиться о равносильности, а каждый раз получать следствия. Алгебраическая система, которая будет получена, легко сводится к уравнению относительно u = у/x. Для этого нужно будет почленно перемножить входящие в нее уравнения.

11.26. При преобразовании выражений, входящих в первое уравнение (после подстановки), нужно будет воспользоваться определением логарифма.

11.27. Так как xy = 3, то либо x, либо у больше единицы. Мы убедились, что x и у положительны. Следовательно,

x + y > 1   и   |log2 (x + у)| = log2 (x + у).

Остается рассмотреть два случая в зависимости от знака log2 (x − у).

11.29. Воспользоваться математической записью определения логарифма: аlogab = b.

11.30. Определив x, следует использовать его для упрощения третьего уравнения системы. Если третье уравнение преобразовать в алгебраическое, то посмотрите, что при этом может произойти — потеря или приобретение корней.

K главе 12

12.2. Доказательство следует начать с очевидного тождества

tg [(30° − α) + (60° − α)] = ctg 2α.

12.3. Воспользоваться тем, что

12.6. Вычислить произведение синусов несколько труднее. Удобнее найти квадрат этого произведения, записав 2 sin2 π/7 как 1 − cos 2π/7 и т. д.

12.7. Разделить числитель и знаменатель выражения, стоящего в правой части, на Вb.

12.8. Если заменить sin² x на k² sin² у, то sin² у можно вынести за скобки.

12.9. Выразить а² + b2 через cos α − β/2 .

12.10. Обозначить sin²α = а, sin²β = b, sin²γ = с и преобразовать данное равенство, выполнив сложение.

12.11. Привести к общему знаменателю и все произведения тригонометрических функций от α + π/3 и α + 2π/3 преобразовать в сумму.

12.13. Второе слагаемое преобразуется к выражению −2 cos² 8° или cos 16° − 1.

К главе 13

13.1. Заменить √2 sin (x + π/4) на sin x + cos x, после чего объединить все одночлены, содержащие cos Зx, и все оставшиеся одночлены уравнения. Это поможет получить распадающееся уравнение, y которого в правой части нуль, а левая разложена на множители.

13.2. Если левую часть представить в виде , то получим распадающееся уравнение, которое нужно решать, следя за равносильностью.

13.3. Левую часть уравнения записать в виде , перенести все в одну часть и вынести  за скобки. (!!)

Оставшееся в скобках выражение симметрично относительно sin x и cos x. Если привести дроби к общему знаменателю, то должно получиться достаточно простое выражение, поскольку все подобные члены будут иметь разные знаки.

13.4. Найти такие решения уравнения sin 2x sin 7x = cos 2x cos 7x, при которых cos 2x cos 7x ≠ 0.

13.5. Замена ctg x = 1/tg x приведет к появлению tg x множителем в числителе. Однако tg x не может быть равным нулю.

13.6. Воспользоваться формулой разности тангенсов и заменить полученное уравнение эквивалентной ему системой, состоящей из нового уравнения и ограничений.

13.7. Множитель sin (x + π/4) входит в правую часть уравнения. Чтобы обнаружить это, достаточно заменить cos x на sin (π/2 − x) и привести правую часть к виду, удобному для логарифмирования.

13.8. После приведения к виду, удобному для логарифмирования, внимательно следить за равносильностью.

13.9. Так как cos x/2 на интервале 0 < x/2 < π меняет знак, то этот интервал придется разбить на два: 0 < x/2 ≤ π/2 , π/2 < x/2 < π.

13.10. При решении получившегося уравнения нужно правильно оценить роль параметра: если из соотношения исчезает неизвестное и остается только параметр, то при данном значении параметра неизвестное может принимать любое значение из области определения данного уравнения.

13.11. Выбор значений x, попадающих в интервал 0 ≤ x ≤ 2π, удобнее осуществить, если при решении мы постараемся воспользоваться арккосинусами, областью значений которых является указанный интервал.

13.12. Под радикалом стоит полный квадрат. Помните, что

13.13. Остается заметить, что tg x + sin x = tg x(1 + cos x), а tg x − sin x = tg x (1 − cos x). Оба этих выражения входят слагаемыми в степени ½. Множитель tg½ x входит и в третье слагаемое. Этот множитель можно вынести за скобки, так как 1 + cos x и 1 − cos x никогда не станут отрицательными, а следовательно, равносильность в результате этого действия не нарушится. (!!)