Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

2.18. Воспользоваться тем, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

2.19. Провести прямую через точку С и данную точку M и найти точку ее пересечения с данным диаметром или его продолжением.

2.20. Если одну из точек, например А, отразим симметрично от прямой l (рис. II.2.20), то получим точку А1 причем решение аналогичной задачи для точек A1 и В совпадет с решением первоначальной задачи. Легко заметить, что величина |A1C − BC| не может превзойти длины отрезка A1B. Но может ли она ее достигнуть?

2.21. Такая связь есть (рис. II.2.21). Точки E и F пересечения диагонали квадрата с окружностями, построенными на противоположных сторонах данного четырехугольника как на диаметрах, делят соответствующие дуги пополам.

2.22. Выбрав произвольно длину отрезка 1, построим соответствующий ему отрезок длины √7. Теперь, зная отрезки 1 и √7, найдем отрезок x = 7, воспользовавшись подобием соответствующих треугольников: √7 : x = 1 : √7 .

2.23. Если на одном луче от вершины О угла отложены отрезки ОА = а и ОВ = b (b > а), на другом его луче отрезок ОС = с (рис. II.2.23), и через точку В проведена прямая BD, параллельная AC и пересекающая ОС в точке D, то отрезок OD = d = bc/а.

K главе 3 

3.1. Выразить длину отрезка ОС через ОА.

3.2. Данный треугольник и все треугольники, образовавшиеся при его проецировании на плоскость P, определены с точностью до подобия. Поэтому соотношение между углами можно получить, введя в рассмотрение некоторый линейный элемент, зависящий от всех участвующих в задаче углов. (!!)

В качестве линейного элемента взять расстояние от вершины прямого угла треугольника до плоскости P.

3.3. При построении плоскости Q мы можем произвольно выбрать две величины: расстояние от точки О до этой плоскости и угол АВО (рис. II.3.3), чтобы пирамида ОАА1В1В имела наиболее удобный вид. При изменении расстояния от точки О до плоскости Q возникает фигура, подобная первоначальной. Это не отражается на рассматриваемых углах, а потому позволяет ввести линейный элемент, через который мы выразим затем все стороны треугольника ОАВ. (!!)

В качестве линейных элементов удобно выбрать отрезки AA1 или ВВ1 так как это позволяет легко вычислить стороны треугольника ОАВ и затем угол АОВ. Однако мы должны выбрать лишь один линейный элемент. Поэтому расположим плоскость Q так, чтобы AA1 = ВВ1.

3.4. Точка, в которую спроецируется искомая прямая, должна быть одинаково удалена от проекций прямых b, с и d. Рассмотреть различные случаи расположения проекций, которые могут возникнуть.

3.5. Чтобы связать искомый угол с треугольником и отрезком AS, построим в плоскости P прямоугольник, две стороны которого лежат на AB и CD, а AC — его диагональ.

3.6. Отрезок OK можно выразить из треугольников OKM и OKR и приравнять полученные выражения. Еще одно соотношение между интересующими нас величинами получим с помощью отрезка АР. Останется воспользоваться равенством, содержащимся в условии.

3.7. В двух противоположных гранях четырехгранного угла должны лежать параллельные стороны параллелограмма. Однако эти грани имеют общую точку — вершину угла, поэтому они пересекаются по некоторой прямой. Противоположные стороны параллелограмма должны быть параллельны этой прямой.

3.8. Рассмотреть треугольник FBA и убедиться, что угол CAF прямой.

3.9. Если вершина пирамиды спроецируется в точку, лежащую внутри основания, то с помощью сравнения площадей легко сосчитать, чему равна сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника. (!!)

Расстояния от точки, в которую проецируется вершина пирамиды, до сторон треугольника выражаются через высоту пирамиды и данные углы. Пользуясь этим, можно вычислить высоту пирамиды. Случай, когда вершина проецируется не внутрь основания, не доставляет ничего нового.

3.10. Высота DO пирамиды будет лежать в плоскости EDC (докажите). Ее можно выразить сначала через ED, а затем через ЕС и искомый угол.

3.11. Чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, нужно найти либо боковое ребро, либо тригонометрические функции угла x. Второе сделать легче, так как углы x и 2x встречаются в двух различных прямоугольных треугольниках с одинаковой гипотенузой.

3.12. Начать нужно с определения коэффициента пропорциональности длин параллельных ребер тетраэдров. Для этого придется рассмотреть треугольник, образованный двумя медианами, которые принадлежат разным треугольникам, но опираются на одно ребро тетраэдра.

3.13. Чтобы установить равенство треугольников A1SB1 и A2SB3, достаточно доказать, что равны их углы при вершине S. Мы не использовали еще полностью то условие задачи, в силу которого О — центр шара, вписанного в трехгранный угол. Поэтому целесообразно рассмотреть плоскость, проходящую через ОО1 и ОО2 и точку ее пересечения с SA2.

3.14. Достаточно ограничиться рассмотрением схематического рис. II.3.14, имея в виду, что H − h2 = H − h1/2. Это соотношение соответствует условию, согласно которому интересующее нас сечение проходит через середину высоты усеченной пирамиды.

3.15. Если вычислить DE², то косинус угла DAE найдем с помощью теоремы косинусов из треугольника ADE. Вычислить DE² можно, воспользовавшись тем, что DO — медиана одновременно в двух треугольниках: ADC и BDE.

3.16. Углы α и β в сумме образуют угол, все тригонометрические функции которого известны. Взяв, например, cos (α + β), мы получим еще одно уравнение.

3.17. Треугольники DAM и DMS имеют общую сторону MD и смежные углы при вершине M. Следовательно, отношение их площадей равно отношению отрезков AM и MS. Воспользоваться подобием треугольников, образовавшихся в плоскости ASB. (!!)

Ввести линейный элемент, через который выразить длины отрезков. Удобно выбрать сторону квадрата, лежащего в основании, так как равный ей отрезок KE связывает с помощью углов α и β все элементы в треугольнике KSE.

3.18. В треугольниках ADC и ADB углы при вершине D прямые.

3.19. Плоскостью SDC пирамида SABC разбилась на две равные пирамиды с общим основанием SDC. Для решения задачи нужно найти площадь SDC, так как высоты пирамид известны.

3.20. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно измерить данный двугранный угол α и искомый двугранный угол x. Высота пирамиды свяжет эти два угла.

3.21. Рассмотрите треугольник ABD, стороны которого легко выразить через SA и тригонометрические функции угла α. (!!)

Из треугольника ABD найдите косинус угла x.

3.22. Отрезок KM можно, во-первых, вычислить непосредственно, а во-вторых, выразить через R.

3.23. Построенное сечение пересечет основание пирамиды по отрезку, параллельному одному из ребер основания. (!!)

Воспользоваться сравнением площадей для треугольника SOA.

3.24. На рис. I.3.24 (см. с. 127) спроецируйте DС на плоскость основания. Докажите утверждение, обратное сформулированному в первом указании: если проведена плоскость KLNM, параллельная AB и DC, то KLNM — прямоугольник. Выясните, когда он будет квадратом, воспользовавшись подобием образовавшихся на рисунке треугольников.