Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

1.7. Площадь треугольника САD (D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла А треугольника АВС с продолжением стороны СВ) можно вычислить двумя способами, используя лишь элементы, участвующие в задаче.

1.8. Сумма двух сторон треугольника, не лежащих против угла А, участвует в выражении площади через полупериметр и радиус вписанной окружности и в выражении через биссектрису и синус половинного угла. Из этих двух выражений сумму b + с нужно исключить.

1.9. Отношение отрезков АО и ОМ дано. Эти отрезки можно рассматривать как отрезки, на которые сторона AM треугольника АВМ делится биссектрисой ВО. В результате мы перейдем к отношению отрезков AB и ВМ, последний из которых легко выражается через стороны данного треугольника.

Аналогично нужно поступить с отношением отрезков ВО и ON.

1.10. Угол РМА равен углу QОА (рис. II.1.10). Чтобы найти МР, нужно рассмотреть сначала треугольник РМА, а затем треугольник ОАQ.

1.11. С помощью первого указания можно получить одно уравнение, связывающее углы данного треугольника. Ко второму уравнению нас приведет условие, в силу которого высота ВQ треугольника АВС (рис. II.1.11) в 6 раз больше высоты ОQ треугольника АОС. Достаточно выразить АQ из треугольников АВQ и АОQ, заметив при этом, что угол ОАQ является дополнительным для угла С.

1.12. После того как получено соотношение

h/sin C + h/sin B = k

использовать условие, согласно которому В − С = π/2, с тем, чтобы получить уравнение относительно одной тригонометрической функции неизвестного угла С. Для достижения этой цели можно, например, в написанное выше соотношение подставить В = π/2 + С. После этого полученное соотношение удобно возвести в квадрат.

1.13. Способ 1. Через x, y и z можно выразить площадь треугольника:

ха + yb + zc = 2S.

Еще три соотношения, в которых участвуют x, y и z, получим, если выразим каждый из отрезков АО, ВО и СО из двух прилегающих к нему треугольников.

Способ 2. Связать отрезки l, m и n удобно с помощью теоремы косинусов для каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС, сумма площадей которых равна площади треугольника АВС.

1.14. Остается использовать условие, что А − В = φ. С помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму придем к тригонометрическому уравнению относительно A + B/2.

1.15. Площадь треугольника АВС, которую мы временно обозначим через S, равна

S =  ½aha = ½bhb.

Кроме того, S выражается через а, b, l и sin C/2 , если треугольник АВС разделить биссектрисой СD на два треугольника.

1.16. Для нахождения угла СОВ следует использовать тот факт, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис. Для этого нужно выразить ∠ СОВ через сумму ∠ ОСВ + ∠ ОВС.

1.17. Так как по условию стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то обозначим их длины через а, а + d, а + 2d и постараемся связать радиус вписанной окружности с длинами сторон. На рисунке треугольник удобно расположить так, чтобы средняя по длине сторона оказалась его основанием.

С помощью сравнения площадей легко выразить высоту треугольника через радиус вписанной окружности. Этот факт будет полезен для исследования образовавшихся подобных треугольников.

1.18. Заметить, что проекция отрезка АО (О — центр вписанной окружности) на сторону b равна p − а.

1.19. Чтобы доказать, что треугольники АВС и OKL подобны, достаточно установить равенство их углов. Так как углы треугольника АВС легко выражаются через угол С, то и углы треугольника OLK тоже следует постараться выразить через тот же угол С. Начать удобно с угла KOL, который равен углу АОВ.

1.20. Чтобы связать стороны треугольника и его углы, удобно воспользоваться теоремой синусов; так как соотношение, которое нужно доказать, однородно, линейные элементы сократятся.

1.21. Если через одну из вершин треугольника АВС провести отрезок, параллельный противоположной стороне треугольника до пересечения с данной в условии прямой, то получим нужные подобные треугольники.

1.22. Если в треугольнике АВС провести высоту АЕ, то получим три прямоугольных треугольника; с помощью теоремы Пифагора АВ², АС² и АD² можно выразить через АЕ и отрезки, лежащие на BC.

1.23. Если AC — основание треугольника, то дополнительное построение удобно выполнить так: через вершины А и С провести прямые, параллельные ВQ, а отрезки СR и АР продолжить до пересечения с этими прямыми. В результате возникнут все необходимые для решения подобные треугольники.

1.25. В качестве неподвижного радиуса удобно выбрать АО. Сумму квадратов расстояний выразить через радиус R описанной около треугольника окружности и угол α.

1.26. Две стороны треугольника и угол между ними известны. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, а радиус описанной окружности — по теореме синусов.

1.27. Выразить cos А и cos С через стороны треугольника и сравнить cos 2С с cos А, имея в виду данное в условии соотношение: а² = с(b + с).

1.30. Сделать это можно так: ВЕ будет стороной, соответствующей О1Е, а через точку E нужно будет провести прямую, параллельную KO2, и отложить на ней отрезок, равный KO2.

1.31. Достроить треугольник АВС до параллелограмма так, чтобы сторона AB была диагональю этого параллелограмма, а через вершину В провести ВD1 ‖ АD. Рассматривая треугольник МDС и подобный ему треугольник с вершинами в точках В и С, найдем отношение, в котором точка M делит отрезок АD.

1.32. Чтобы выразить все участвующие в формулировке задачи величины через R и синусы соответствующих углов, нужно ввести углы так, как это показано на рис. II. 1.32, и затем воспользоваться теоремой синусов.

1.33. При продолжении боковой стороны трапеции и указанного в условии отрезка до их пересечения получаются подобные треугольники. Это позволяет выписать соответствующую пропорцию и составить из нее производную пропорцию.

1.34. Чтобы использовать условие AN : NB = 1 : 2, можно отметить на рисунке точку пересечения прямой с продолжением одной из сторон квадрата или провести через точку N прямую, параллельную BC.

1.35. Чтобы составить уравнение относительно x, удобно выразить через x отрезок АЕ один раз с помощью квадрата, а другой раз с помощью треугольника.

1.36. Чтобы связать треугольник и трапецию с окружностью, естественно провести радиусы в вершины обеих фигур. K этим радиусам прилегают прямоугольные треугольники. Выясните, какие из них равны. (!!)

Углы NOE и OAD (рис. II.1.36) можно выразить через угол а и убедиться в том, что они равны.

1.38. Выразить через R и n периметры первого и второго многоугольников и сравнить с периметром третьего многоугольника.

1.39. Величину R можно вычислить, построив треугольник, в котором все стороны выражаются через R и известные величины. В качестве такого треугольника удобно выбрать треугольник ОМО1, где О1 — центр рассматриваемой в задаче окружности.