Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

22.7. Так как x < −1, то значение каждой функции, входящей в правую часть, можно уточнить с тем, чтобы сумма попала в интервал монотонности синуса и тангенса. (!)

22.8. Из данного уравнения можно найти значения arcsin x. Из этих значений остается выбрать те, которые лежат в области значений арксинуса. (!)

22.9. Поскольку arcsin x — нечетная функция, то одновременно с корнем x уравнение имеет корень −x. Это позволяет искать лишь неотрицательные корни.

22.10. Из условия следует, что x > 0. Левая часть заключена в интервале [0, π], который является интервалом монотонности косинуса.

22.11. Воспользовавшись тем, что 2 + cos x > 0 и 2 cos² x/2 ≥ 0, можно уточнить интервал значений левой части уравнения.

22.12. Левая и правая части лежат в интервале монотонности синуса. (!)

22.13. Уточнение интервалов с тем, чтобы получить равносильное уравнение, приведет к нерациональному способу решения. Проще перенести, например, arctg (x + 1) в правую часть и взять котангенсы от обеих частей. Каким образом может быть нарушена равносильность?

K главе 23

23.1. Поскольку sin x ≤ 1, то log3 sin x ≤ 0. (!)

23.2. В указанной последовательности действий первое ограничение накладывается на трехчлен x² − x − 1, он должен быть положительным. Следующее ограничение накладывается уже на log½ (x² − x − 1). (!)

23.3. Нужно пройти всю последовательность действий, начиная с самого внутреннего, и записать все встречающиеся при этом ограничения. (!)

23.4. Найдя область определения функции arccos (x² − 3x + 1), исключить точки, в которых не существует tg 2x. (!)

23.5. Решить графически систему неравенств, обеспечивающих существование данного выражения. (!)

23.6. Способ 1. Доказательство можно вести от противного, предположив, что функция имеет период T.

Способ 2. Найти корни функции и исследовать их в предположении, что у функции имеется период.

23.7. Записать тождество, равносильное условию, что f(x) имеет своим периодом число T. Рассмотреть это тождество при x = 0 и x = ±T. (!)

23.8. Ясно, что любое общее кратное периодов cos 3x/2 и sin x/3 будет периодом данной функции. Доказать, что наименьшее общее кратное будет основным периодом.

K главе 24

24.1. Заменить cos² x на 1 − sin² x. В результате получится квадратный трехчлен относительно sin x.

24.2. Записать у как одну функцию другого аргумента.

24.3. Привести к одной тригонометрической функции другого аргумента.

24.4. Выражение можно представить в виде А² + В² + С, где С — константа.

24.5. Чтобы раскрыть знаки абсолютных величин, нужно нанести на числовую ось точки ±1 и ±2, которые разобьют ее на пять интервалов.

24.6. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел.

24.7. Чтобы найти максимум AB + BC, удобно ввести углы x и у (рис. 1.24.7), имея в виду, что x + у = π − α, и перейти с помощью теоремы синусов к тригонометрическим соотношениям. (!)

24.8. Если обозначить катеты основания через а и b, то боковая поверхность призмы равна

причем ab = 4.

24.9. Квадрат должен быть вписан в шестиугольник так, чтобы не нарушалась симметрия, т. е. центр квадрата должен совпадать с центром шестиугольника.

24.10. Прежде всего необходимо обратить внимание на свойства квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Его дискриминант отрицателен и, следовательно, трехчлен не может быть равен нулю при действительных x.

Если обозначить теперь данную дробь через у, то можно получить квадратное уравнение относительно x, в котором у играет роль параметра.

24.11. Если ребра параллелепипеда обозначить через а, b и с, то условие задачи можно записать в виде системы

Из второго и третьего неравенств следует, что

ab + с(а + b) ≥ ab + 5с.

24.12. Чтобы найти наименьшее значение этой функции, естественно выделить полный квадрат. Однако удобнее вначале перейти от котангенсов к косекансам, что позволяет выразить функцию только через синусы:

Теперь в числителе следует выделить полный квадрат разности. При этом могут представиться два случая, в зависимости от знака произведения sin (α + x) sin (α − x). Чтобы не рассматривать их отдельно, можно необходимые преобразования записать так:

sin² (α + x) + sin² (α − x) = [|sin (α + x)| − |sin (α − x)|]² + 2 |sin (α + x) sin (α − x)|.

24.13. Известно, что arcsin x + arccos x = π/2 . Поэтому данную функцию удобно преобразовать так, чтобы воспользоваться этим соотношением.

24.14. Воспользоваться преобразованием нормирования:

после чего коэффициенты при sin α и cos α можно объявить косинусом и синусом общего аргумента φ, т. е.

Функция у достигает своего наименьшего значения

когда sin (α + φ) = −1, и наибольшего значения

при sin (α + φ) = 1. (!)

24.15. Систему естественно привести к виду

Свободные члены равны, соответственно, 5², 12² и 5 · 12. Удобно каждое из соотношений разделить на его свободный член.

Вторые указания

K главе 1

1.1. Из треугольника AO1D определить АO1; если известен радиус окружности O1 (см. рис. I.1.1 на с. 114).

1.2. Зная AB, можно найти AD и радиус ВО1 описанной окружности (рис. II.1.2[15]). Нужно лишь заметить, что угол ABD равен π/2 − α, а ВE = АB/2.

1.3. Возможны два случая взаимного расположения треугольника и окружности. Либо окружность будет вписана в треугольник так, что каждая точка касания делит соответствующую сторону пополам, либо одна вершина треугольника окажется внутри окружности, а две другие — вне.

Найдите решение, не зависящее от взаимного расположения окружности и треугольника. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, который получится, если соединить середины сторон данного треугольника.

1.4. Чтобы найти отношение площадей треугольников А1В1С и АВС, нужно применить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.

В обозначениях, введенных на рис. II.1.4. имеем

С помощью теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника остается выразить а1, a2, b1, b2, c1, с2 через а, b и с.

1.5. Если центр вписанной в треугольник окружности обозначить через О, то площадь треугольника АВС можно будет вычислить как сумму площадей треугольников АОВ, ВОС и СОА. При этом каждая из сторон АО, ВО и СО может быть выражена через радиус r вписанной окружности. Площадь треугольника А1В1С1 тоже разбивается на три площади: А1ОВ1, В1ОС1 и С1ОА1. Остается углы А1ОВ1, В1ОС1 и С1ОА1 выразить через углы треугольника АВС.

1.6. Из данного соотношения между площадями треугольников АDС и АВD, имеющих общую сторону АD и одинаковые углы при вершине А (поскольку АD — биссектриса треугольника АВС), можно найти отношение сторон AC : AB. Далее применить теорему синусов.