Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos² x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x ≥ 0 и cos x ≥ 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что  — новое неизвестное.

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести −1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и выполнить сложение.

14.13. Это — иррациональное неравенство относительно у = cos x. Не следует забывать, что |у| ≤ 1. Благодаря этому решение можно упростить.

14.14. Если выразить sin x и cos x через tg x/2 , то получим алгебраическое неравенство, которое решается методом интервалов. (!)

14.15. Выразить все тригонометрические функции через sin α.

14.16. Так как sin² x ≥ 0, то, заметив, что x = πk — решения неравенства, можно изолировать параметр а², разделив обе части неравенства на sin² x.

14.17. Если обозначить cos t = z, то данное выражение запишется в виде квадратного трехчлена относительно z, который должен быть положительным при всех −1 ≤ z ≤ 1. Найдите абсциссу вершины соответствующей ему параболы.

K главе 15

15.1. В правой части можно произвести логарифмирование, не нарушая равносильности.

15.2. Рассмотреть случаи 0 < tg x < 1 и tg x > 1. Удобно выразить sin² x через tg² x. (!)

15.3. Нетрудно заметить, что на самом деле интервал можно сузить: 0 < x < π/2 , так как при π/2 < x < π функции, стоящие под знаком логарифма, отрицательны.

15.4. Вначале нужно привести все логарифмы к общему основанию с помощью формулы logak N = 1/k loga N.

15.5. Неравенство эквивалентно условию, что основание логарифмов лежит между 0 и 1.

15.6. Начать следует с приведения левой части к виду, удобному для логарифмирования. Это позволит перейти к неравенствам, где уже не будут участвовать тригонометрические функции.

15.7. Использовать тот факт, что arccos у ≥ 0. Чему равносильно данное в условии неравенство?

15.8. Область значений левой части неравенства — интервал от 0 до π/2 , а область значений правой части — интервал от 0 до π. Так как левая часть должна быть больше правой, то аргумент арккосинуса не может стать отрицательным.

15.9. Второй сомножитель неотрицателен при всех x, следовательно, неравенство может удовлетворяться лишь при положительных значениях первого сомножителя. Если произведение двух положительных чисел не меньше единицы, то хотя бы одно из них не меньше единицы.

15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В. Так как А ≥ 0, то неравенство равносильно совокупности двух систем:

K главе 16

16.1. Правая часть уравнения не может стать меньше двух. Сравнить с оценкой левой части. (!)

16.2. Это уравнение легко привести к квадратному относительно 2tg²x. (!)

16.3. Перейти к общему основанию. Не нарушится ли при этом равносильность?

16.4. Поскольку в левой части уравнения стоит произведение синуса и косинуса от одного аргумента, удобно воспользоваться формулой синуса двойного угла. Записать, чему равен аргумент.

16.5. Перейти к уравнению без логарифмов, позаботившись о сохранении ограничений.

16.6. Ввести вспомогательное неизвестное и преобразовать данное уравнение в квадратное. (!)

16.7. От этого уравнения легко перейти к тригонометрическому. При этом нужно учесть все ограничения, которыми логарифм связывает число и основание.

16.8. Уравнение равносильно уравнению  при условии, что cos² x ≠ 1/8.

16.9. Перейти к уравнению 5π(½)x = π/4 + πk и найти все k, при которых это равенство возможно.

16.10. Вначале решить квадратное уравнение относительно lg cos x. Затем найти cos x и на этом шаге провести исследование.

16.11. Решить квадратное уравнение и учесть все ограничения на параметр а в связи с появлением радикала и синуса.

16.12. Данную систему нужно заменить системой без логарифмов. Однако при этом следует помнить обо всех ограничениях, которые накладываются на число, стоящее под знаком логарифма, и на основание логарифма.

16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4cos² − πx = u.

16.14. Трехчлен x² − x + 0,5 всегда больше 0,25.

K главе 17

17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1) и g(x − 1).

17.2. f(x) = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)²,

f(f(x)) = f(x) (f(x) − 3)² = x(x − 3)²(x³ − 6x² + 9x − 3)².

17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.

17.4. Неравенство |x + 2| ≤ x + 2 удовлетворяется при всех x ≥ −2.

Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки

2x − 1 = у,  sin πx/2 = 2.

17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F0(x0; у0).

17.6. Данное неравенство равносильно такому:

Рассмотрите случаи: а) 0 < x − у < 1 и б) x − у > 1.

17.7. Изобразите на графике часть плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству, для каждого квадранта отдельно. Для первого квадранта это будут все его точки.

17.8. Начать нужно с определения координат точки E. Для этого придется записать уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, у1) и (x2, у2):

сначала для точек В и D, затем для точек А и C. Решение системы этих двух уравнений даст нам координаты точки E.

17.9. Оба неравенства зависят от x + у и от у − x. Это подсказка побуждает ввести новые переменные u = x + у и v = у − x.

17.10. Если x1 и x2 — целые, то и а — целое. (Докажите.)

17.11. Это биквадратное уравнение, и оно сводится к квадратному подстановкой x² = у. Знак дискриминанта квадратного уравнения не позволяет ответить на вопрос о числе корней исходного уравнения. Нужно позаботиться, чтобы у ≥ 0.