Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

10.53. Обозначив log2x = у, можно привести неравенство к виду

1 + у² ≤ |у| (4x − x² − 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

K главе 11

11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3. Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4. Обозначить 3−|x − 2| = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12|x| = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + √3 и 2 − √З взаимно обратные

11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2x.

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, −1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы logab = logak bk можно добиться того, что в уравнение будут входить только logx7 и log7x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log3x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = logx 3. (!)

11.14. Так как 2 logx 2 = logx 4, то после умножения обеих частей уравнения на log4x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?

11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18. Если log√bx записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.

11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21. Поскольку нам известно, чему равно xу, то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.

11.22. Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23. Так как 11xz : 11z = 11(x − 1)z, то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно .

11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.

Способ 2. Воспользоваться равенством аlogbc = сlogbа .

11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log2 (x + у), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.

11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log2x и v = log2(у + 1). (!)

11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы

logakN = 1/k logaN (а > 0, а ≠ 1).

11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x.

K главе 12

12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)

12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:

tg 2α [tg (30° − α) + tg (60° − α)] = 1 − tg (60° − α) tg (30° − α).

12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с ½ tg x/2.

12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют α + β и α, то вместо sin β удобно записать sin [(α + β) − α] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5. Домножить и разделить на 2 sin π/7 и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin π/7. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8. В произведении sin (x + у) sin (x − у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы α и β.

12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно α, β и γ. Левую часть данного равенства удобно выразить через sin²α, sin²β, sin²γ.

12.11. Подставить β = α + π/3, γ = α + 2π/3 и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12. Так как ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию, то ctg α + ctg γ = 2 ctg β. Если теперь вспомнить, что β = π/2 − (α + γ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg α + ctg γ. (!)

12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = −sin 16° = −2 sin 8° cos 8°.

K главе 13

13.1. Множитель √2 sin (x + π/4) замените на sin x + cos x.

13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.

13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5. Если записать 1/tg x вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.

13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + π/4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2π, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.