Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p − а, p − b, p − с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а + b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:

p − а + p − b + p − с = 3р − (а + b + с) = p.

10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)

10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.

10.13. Данные уравнения можно переписать в виде

у + z = 5 − x,    yz + x(z + y) = 8,

после чего можно получить уравнение, корнями которого будут у и z, а коэффициенты будут зависеть от x.

10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)

10.15. Так как коэффициент при x² положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 < x < 2.

10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи, когда х1 и x2 одного знака и разных знаков.

10.17. Определить направление ветвей параболы и расположение ее корней относительно точек −1 и +1, чтобы условия задачи выполнялись.

10.18. Если m ≠ 0 (случай m = 0 следует рассмотреть отдельно), то ветви параболы у = mx² − 4x + 3m + 1 должны быть направлены вверх.

10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во второй системе оно отрицательно. (!)

10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин, достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например  = |x − 3|. (!)

10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно умножить на 4x. Поскольку результат будет зависеть от знака x, необходимо рассмотреть два случая: x < 0 и x > 0. (!)

10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь, которая должна быть отрицательной.

10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель

10.24. Удобно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0 (при x = 0 сразу видно, что неравенство не выполняется).

10.25. В неравенство входит сумма двух выражений: √x , — и их удвоенное произведение. Кроме этого, в правой части стоит член −2x, который после перенесения его в левую часть можно использовать для образования суммы квадратов этих выражений.

10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно, целесообразно рассмотреть два случая: x > 0 и x ≤ 0.

10.27. Если привести обе части неравенства к основанию 2, то можно заметить симметрию показателей.

10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены, содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то это поможет разложить левую часть на множители. (!)

10.29. Придется разобрать два случая: x > 0 и x ≤ 0. Когда x > 0, данное неравенство равносильно такому:

10.30. Чтобы сравнить показатели степени, необходимо выяснить, как основание расположено по отношению к единице.

10.31. Так как обязательно x > 0, то можно упростить неравенство, разделив обе его части на x.

10.32. При x > 0 получаем равносильное неравенство

Что будет при x < 0?

10.33. При возведении в квадрат нужно потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. (!)

10.34. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Абсолютная величина выражения неотрицательна. Как видите, это не совсем одно и то же. (!)

10.35. При решении логарифмических неравенств удобнее иметь дело с одинаковыми основаниями логарифмов. Если вы выбрали в качестве такого основания число 5, то обратите внимание на правую часть неравенства. Осуществив в ней почленное деление числителя на знаменатель, вы обнаружите, что При этом появляются ограничения x > 0, x ≠ 1. Существенны ли они в процессе решения?

10.36. Перейти к одному основанию и получить под знаками логарифма одинаковое число. (!)

10.37. Неравенство легко приводится к виду

log|x + 6|(x² − x − 2) ≥ 1. (!)

10.38. Если обозначить logаx = у, то получим простое неравенство относительно у.

10.39. Перейти к общему основанию k.

10.40. Вообще говоря, нужно рассмотреть случаи, когда основание x больше единицы и когда оно находится между нулем и единицей. Однако внимательное изучение данного неравенства позволяет рассмотреть только один из этих случаев.

10.41. Поскольку основание логарифма больше единицы, данное неравенство эквивалентно требованию, чтобы число, стоящее под знаком логарифма, было не меньше единицы.

10.42. Чтобы упростить это неравенство, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, больше или меньше единицы основание логарифма. Однако правильное использование условия позволяет исключить случай

0 < (x − 1)² < 1.

10.43. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что первый сомножитель положителен. Следовательно, и второй сомножитель тоже должен быть больше нуля.

10.44. Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям 2 и 3.

10.45. Поскольку неизвестно, как расположено выражение, стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется рассмотреть два случая: 0 < x² − 1 < 1 и x² − 1 > 1. (!)

10.46. Поскольку мы ищем как решения, при которых основание положительно, так и решения, при которых оно отрицательно, удобно начать с определения тех интервалов изменения x, где основание сохраняет свой знак.

10.47. Если у ≠ 0 фиксировано, то данное неравенство является обычным квадратным неравенством относительно x. Остается записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет решение.

10.48. Прежде чем приступить к «техническому» решению задачи, ответьте на вопрос, следует ли из неравенства 3 < 2, например, теорема синусов?

10.49. Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x < а. Поэтому оно равносильно системе

10.50. Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51. Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52. Обратите внимание, что числа √5 + 2 и √5 − 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53. Обозначив log2x = у, можно привести неравенство к виду