Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

17.12. Поскольку cos 8x = 1 − 2 sin² 4x, исходное уравнение преобразуется в квадратное относительно у = sin 4x, где |у| ≤ 1.

17.13. Подставив любые значения x и а в данное уравнение, получим соответствующее единственное значение у. Таким образом, при любом фиксированном а любая прямая, параллельная оси у, пересечет кривую семейства, соответствующую этому а, в единственной точке. Это не означает, что через каждую точку плоскости (x, у) проходит кривая семейства. Не при любом у мы найдем точки плоскости (x, у), соответствующие данному семейству.

K главе 18

18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объем бассейна следует принять за единицу).

18.2. Если плечи весов равны l1 и l2, то можно вычислить массу P товара, отпущенного покупателю.

18.3. Эта задача менее всего похожа на «алгебраическую». Скорее, она напоминает рассуждения человека, пытающегося обнаружить факт на основе отрывочных сведений. Вначале следует обратить внимание на то обстоятельство, что листов в альбоме — число целое. После этого нужно использовать условие задачи с тем, чтобы ограничить рассмотрением возможные значения этой переменной.

18.4. Путь буксира изображен на рис. 1.18.4, где x — часть пути, которую прошел самостоятельно (т. е. без буксировки) первый понтон, а y — часть пути, которую прошел без буксировки второй понтон.

18.5. Так как некто родился в девятнадцатом веке, то неизвестны две последние цифры его года рождения. Если мы обозначим их через x и y, то сможем записать условия задачи в виде уравнений.

18.6. Если одна часть имеет массу x карат, то ее цена lx², где l — коэффициент пропорциональности.

18.7. Основная трудность в выборе неизвестных, которые позволили бы связать данные в условии величины. Здесь эту роль могут выполнить нормы расхода горючего при работе двигателя с фиксированной собственной скоростью. K чему удобнее отнести эти нормы: к часу работы двигателя или к километру пути в стоячей воде?

18.8. Выбор неизвестных подсказан условием задачи: x, y, z, s и t — число десятков порций соответствующих сортов мороженого. Выбрав в качестве неизвестных число десятков порций, а не число самих порций, и заметив, что неизвестные — натуральные числа, мы тем самым использовали условие, в силу которого у продавца есть по нескольку десятков порций мороженого. Последнее условие задачи запишется в виде неравенства y > s. Это ограничение позволит нам восполнить отсутствие пятого уравнения в системе с пятью неизвестными.

18.9. Пусть С — устье реки. Время, за которое плоты прошли весь путь от А до В, известно, а время, за которое прошли путь СB, обозначим через x. Если ввести в рассмотрение расстояние AC, то скорость течения реки можно выразить из остальных условий задачи.

18.10. Условия задачи отражены на схеме (рис. 1.18.10). С помощью схемы можно составить четыре уравнения: встреча в точке С дает два уравнения и две оставшиеся встречи — по одному.

18.11. Вначале нужно проследить весь процесс за один цикл в предположении, что объем сосуда принят за единицу, а часть его объема, занимаемая раствором, обозначена через x.

18.12. В качестве неизвестных удобно выбрать: x — скорость автомобиля, y — скорость мотоцикла и z — расстояние между пунктами А и В. Первая встреча произошла через z/x + у ч после начала движения на расстоянии zy/x + у км от пункта В.

Теперь нетрудно подсчитать расстояние между пунктами первой и второй встречи.

18.13. В качестве неизвестных удобно выбрать расстояние (x), которое пассажир проехал на такси и (y) на автобусе, скорость поезда (u) и время, на которое пассажир опоздал на поезд (t).

18.14. Скорости поездов связаны со всеми величинами, участвующими в задаче. Поэтому естественно ввести в качестве неизвестного x скорость товарного поезда до остановки. Тогда mx — скорость пассажирского поезда до остановки.

Однако одного неизвестного здесь мало, так как поезда выходили из своих пунктов в разное время. Чтобы связать скорости и времена, нам нужно ввести в рассмотрение расстояния. Пусть расстояние между А и В равно y, а расстояние между А и С равно z.

18.15. Вопрос задачи не имеет прямого отношения к ее решению. Поэтому величину, о которой спрашивается в задаче, не следует выбирать в качестве неизвестного, так как она сложно связана с остальными компонентами. Наиболее удачно связать участвующие в задаче величины — расстояния и промежутки времени — можно с помощью скоростей самолета и вертолета.

18.16. Если обозначить устье реки, на которой стоит порт M, буквой А, а устье второй реки буквой В, то для решения задачи удобно ввести два неизвестных расстояния. Сразу же появляется желание обозначить расстояние AB, которое требуется определить, буквой x, один из оставшихся отрезков, МА или NA, — буквой у, а последний отрезок записать как s − (x + у). Однако более естественно не нарушать симметрию и обозначить буквами x и у отрезки МА и BN соответственно. Тогда отрезок AB будет равен s − (x + у). Поскольку нас интересует только отрезок AB, то нужно определить x + у.

18.17. Поскольку линейные единицы измерения в условие не входят, целесообразно принять расстояние между А и В за единицу. Если ввести скорости поездов: u — скорого, v — пассажирского, 2v — курьерского, то легко определить u в долях AB в час.

18.18. Первый вопрос, который должен возникнуть у хозяйственника, решающего подобную задачу, какой из комплектов выгоднее заказать, т. е. для какого из них средние расходы на пересылку одной детали будут наименьшими.

K главе 19

19.1. Записать выражения для иn и иn + 1 и сравнить.

19.2. Поскольку первый член арифметической прогрессии входит в качестве слагаемого в выражения для любого ее члена, удобнее сразу записать aq − ар, ar − aq, as − аz. Это тем более удобно, что нас интересуют разности p − q, q − r, r − s.

19.3. Если ввести а1 и u1 — соответственно первые члены арифметической прогрессии с разностью d и геометрической прогрессии со знаменателем q, то а, b и с придется выразить через а1, u1, d и q.

19.4. В левой части удобно перейти к общему основанию x.

19.5. Если бы сумма состояла из одних девяток, то каждый член можно было бы представить в виде 10k − 1.

19.6. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, умножить и разделить на 9. Число, состоящее из k девяток, равно 10k − 1.

19.7. Условия задачи можно записать в виде а1 + а3 = 2а2, а1а3 = а2² . Из этой системы нетрудно исключить а2.

19.8. Удобно ввести знаменатель прогрессии q и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить q и x1. (!)

19.9. Так как корни уравнения образуют геометрическую прогрессию, то x2 = x1q, x3 = x1q². Воспользуйтесь теоремой Виета для уравнения третьей степени.