Интернет-журнал 'Домашняя лаборатория', 2007 №2 - Журнал «Домашняя лаборатория»

class="sub">2/2 + … + f(n)(х0) (х — х0)n/n! + …

где f'(х0) — первая производная f(х) в точке х0, f'' — вторая производная, f(n) — n-ая производная функции f(х) в точке х0. Разложение в ряд Тейлора позволяет находить значения функции в точке х, если известно ее локальное поведение вблизи точки х0 (т. е. известны значение функции f(х) в х0 и ее производные). Этот ряд — есть разложение по параметру х — х0. Если этот параметр мал (т. е. отклонение х от х0 невелико), то каждый член ряда мал по сравнению с предыдущим и для вычисления f(х) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда.

Пример: ряд Тейлора для функции sin (х) вблизи точки х = 0 имеет вид sin (х) = х — х3/6 + х5/120 — … Вычислим с помощью этого ряда sin (30°) = sin (π/6) = 1/2. Нулевое приближение дает sin (π/6)пр = 0 (функция взята в точке х = х0). Это нас, естественно, не удовлетворяет, нам нужна первая неисчезающая поправка к значению равному нулю. В первом приближении, учитывая первое слагаемое ряда, имеем sin (π/6)пр= л/6 = 0.5236…, что уже гораздо лучше. Если же мы учтем второе кубическое слагаемое, то получим sin (π/6)пр= π/6 — (π/6)3/6 = 0.4997…

Если х — х0 велико, то ряд может сходиться медленно (и тогда от него мало пользы), а может и вообще расходиться. Т. е., теория возмущений работает, когда отклонение от известного значения (отклонение — это и есть возмущение) невелико.

Конкретная схема теории возмущений сильно зависит от задачи, которую надо решать, и методы теории возмущений очень разнообразны.

Степанов М.Г.

Подробнее в книгах:

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц «Механика», том 1 курса теоретической физики, М.: Наука, 1988.

А.Найфэ, «Методы возмущений», М: Мир.

• ВОПРОС № 28: Правда ли, что у планеты Земля есть двойник и его не видно, потому что он находится в противофазе?

ОТВЕТ: Задача определения движения 4-х и более тел под действием сил тяготения (а именно таковой является Солнечная система) в общем случае до сих пор не решена. Если в системе 3 тела, то есть несколько частных случаев, для которых есть точное решение. Впервые они были найдены Лагранжем в 1772 г. Суть его работы сводится к тому, что если заданы массы тел и положение 2-х тел на плоскости, то существует 5 точек, в которых может быть расположено третье тело, и система при этом будет устойчива. Таким образом:

а) если три тела расположены на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней вокруг общего центра масс;

б) если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается все время равносторонним.

Если бы в нашей Солнечной системе было всего три тела: Солнце, Земля и двойник Земли в противофазе, то в соответствии с решением Лагранжа (а) система была бы устойчивой. Но поскольку в Солнечной системе небесных тел значительно больше трех, то несимметричные возмущения планетных орбит неизбежно приведут к нарушениям конфигурации системы и нарушению устойчивости планетных орбит.

Как мы сейчас понимаем, двойника Земли, находящегося в противофазе, не может быть (хотя сообщения о существовании двойника Земли периодически появляются в «бульварной» прессе).

Но, тем не менее, во всех 5 точках Лагранжа, посчитанных для системы «Земля-Солнце и третье тело», обнаружены скопления пыли и газа.

Кириченко Н.А.

Подробнее можно прочитать:

П.И.Бакулин, Э.В.Кононович, В.И.Мороз "Курс общей астрономии", М., 1977.

Ч.Альвен, Г.Аррениус "Эволюция Солнечной системы", М., 1979.

А.Д.Брюно "Ограниченная задача трех тел", М., 1990.

• ВОПРОС № 29: Меня интересует, как можно представить электроны? Как волну или как кванты и элементарные частицы?

ОТВЕТ: Обычно отвечают, что электрон — это волна и частица одновременно, но такой ответ мало помогает пониманию. Пожалуй, проще всего представлять себе свободные электроны как волновой пакет — набор волн, которые складываясь, компенсируют друг друга во всем пространстве, за исключением небольшого объема. Именно внутри этого объема и «существует» электрон. Для нас этот объем микроскопически мал, поэтому мы воспринимаем электрон как отдельную частицу. Эти слова, конечно, не объясняют на самом деле, что же такое электрон, из чего он сделан, но они дают возможность наглядно представить себе электрон, позволяют увидеть связь между волнами и частицами.

Более детальное разъяснение того, как выглядят микроскопические объекты и как они ведут себя, можно найти в книге «Под знаком кванта».

Иванов И.П.

• ВОПРОС № 30: Какова будет примерная форма большой медведицы через 50000 лет и почему?

ОТВЕТ: Из-за прецессии земной оси полюсы мира описывают вокруг полюсов эклиптики малые круги радиусом около 23,5 градусов за период около 26000 лет. Это означает, что через 50000 лет полюс мира будет направлен в ту же точку, что и 2000 лет назад. Это недалеко от звезды альфа в созвездии Дракона. Смена "полярной звезды" не приведет к изменению формы Большой Медведицы: 50000 лет слишком малый срок для того, чтобы стали заметны относительные смещения сильно удаленных звезд.

Источник: П.И.Бакулин, Э.В.Кононович, В.И.Мороз "Курс общей астрономии", М., Наука, 1983, параграф 73.

• ВОПРОС № 31: Почему именно красный цвет означает остановку, а не какой-нибудь другой (у светофора)?

ОТВЕТ: В световой сигнализации, применяемой на всех видах транспорта, широко используются в качестве условных знаков цветовые сигналы. Наиболее широко используемыми являются цвета: красный, зеленый, желтый, синий и белый. Для воспроизведения этих цветов применяются цветные светофильтры. Основным требованием, предъявляемым к таким светофильтрам, является безошибочная опознаваемость сигналов. Наиболее различными по ощущению цветности должны быть красный и зеленый сигналы, запрещающий и разрешающий движение в дорожной сигнализации.

Подробнее в книге: В.В.Мешков, А.Б.Матвеев «Основы светотехники», М., Энергоатомиздат, 1989, стр.361–363.

Человеческий глаз свет разных длин волн (цветов) воспринимает по-разному. Наилучшую чувствительность средний нормальный глаз при дневном зрении имеет в желто-зеленой части спектра 555 нм. При сумеречном зрении максимум чувствительности смещается в коротковолновую область — 510 нм. При восприятии красного цвета 650…700 нм чувствительность глаза составляет 0,04…0,1 от максимальной при дневном зрении и 0,00002…0,0007 — при сумеречном зрении. При восприятии зеленого цвета 500…550 нм чувствительность глаза составляет 0,3…0,99 от максимальной при дневном зрении и 0,5…0,98 — при сумеречном зрении. Видно, что предельное расстояние, с которого еще можно разглядеть красный цвет, гораздо меньше, чем предельное расстояние для зеленого цвета.

Подробнее