Этюды о Галилее - Александр Владимирович Койре

было сказано в другом месте, падающее тяжелое тело, выходя из состояния покоя, приобретает по мере течения времени все большую степень скорости, и мы можем вообразить себе, что промежутки AF, FH и НК представляют нам равные промежутки времени, а отвесные линии FG, HI и KL – степени скорости, приобретенные за эти промежутки, так что степень скорости, приобретенная за время АК, будет линия KL, соответствующая степени HI, приобретенной за время АН, и степени FG – за время AF. Эти степени KL, HI и FG находятся (как это очевидно) в том же отношении, что и времена КА, НА и FA. И если будут проведены другие отвесные линии из точек, произвольно взятых на линии FA, то по мере продвижения к точке А, представляющей первое мгновение времени и первоначальное состояние покоя, будут находиться все меньшие и до бесконечности меньшие степени. И это продвижение к А представляет нам первоначальную склонность движения вниз, уменьшающуюся до бесконечности по мере приближения движущегося тела к первоначальному состоянию покоя – приближения, способного возрастать до бесконечности <…> следовательно, скорость движения вниз вполне может уменьшиться настолько (будучи способна убывать до бесконечности двояким образом), что ее будет недостаточно для того, чтобы возвратить движущееся тело на окружность колеса и, следовательно, сделать так, чтобы движение бросания оказалось задержанным и устраненным. Обратно, для того чтобы движение отбрасывания не воспоследовало, необходимо, чтобы отрезки пространства, по которым брошенное тело должно опускаться для соединения с колесом, сделались столь короткими и ничтожными, что, сколь бы медленно, даже замедленно до бесконечности, ни было опускание движущегося тела, оно все же было бы достаточно для того, чтобы возвратить тело. Поэтому нужно, чтобы нашлось такое уменьшение этих отрезков, которое не только совершалось бы до бесконечности, но до такой бесконечности, которая превосходила бы двойную бесконечность уменьшения скорости падающего вниз тела. Но как может одна величина уменьшаться более другой, которая уменьшается до бесконечности вдвойне? Итак, пусть заметит синьор Симпличио, как хорошо можно философствовать о природе без геометрии. Степени скорости, уменьшающиеся до бесконечности <…> всегда определяются отношением параллелей, заключенных между двумя прямыми линиями, образующими угол, соответствующий углу ВАЕ <…> всегда прямолинейному. А уменьшение отрезков пространства, по которому движущееся тело должно вернуться на окружность колеса, пропорционально сокращению другого рода, ограниченному линиями, образующими бесконечно более узкий и острый угол, чем любой угол прямолинейный, каким является первый. Возьмем на отвесной линии АС произвольную точку С и, сделав ее центром, опишем расстоянием СА дугу AMP, которая пересечет параллели, определяющие степени скорости, как бы малы они ни были и в каком бы самом остром образуемом прямыми линиями угле они ни заключались; у этих параллелей части, находящиеся между дугой и касательной АВ, выразят величину отрезков пространства, которое надо пройти для возвращения на колесо, все меньших и меньших во все большей пропорции, по мере приближения к точке касания, – меньших, говорю я, чем те параллели, частями которых они являются. Параллели, заключенные между прямыми линиями, по мере приближения к углу уменьшаются все в той же пропорции; так, например, если АН разделена пополам в точке F, то параллель HI будет вдвое больше FG; при делении FA вновь пополам параллель, проведенная из точки деления, будет половиной FG, и при продолжении деления до бесконечности последующие параллели всегда будут половиной непосредственно предшествующих. Но не то будет с линиями, заключенными между касательной и окружностью круга, ибо если сделать то же деление FА и предположить, например, что параллель, идущая из точки Н до окружности, вдвое больше той, которая идет из точки F, то эта последняя будет длиннее следующей больше чем вдвое, и по мере того, как мы будем идти к точке касания А, мы будем находить, что предшествующие линии будут содержать непосредственно следующие линии, три раза, четыре, десять, сто, тысячу, сто тысяч, сто миллионов и т. д. до бесконечности. Следовательно, эти линии сокращаются в такой степени, которая более чем достаточна для того, чтобы брошенное тело <…> вернулось или держалось на окружности.

Рассуждение Галилея, которое мы процитировали целиком (ведь и правда нет ничего поучительней ошибки), как уже было отмечено, чрезвычайно заманчиво и искусно. К сожалению, оно неверно, и, что еще хуже, оно явно неверно. Рассуждения о бесконечно малых величинах, безусловно, сложны, и слишком велик соблазн крайней геометризации. Это рассуждение тем не менее можно опровергнуть, и Галилей как никто другой осознает, какие угрозы могут его подстерегать.

Ошибка, совершенная Галилеем, не сводится к простой невнимательности. Он прекрасно знает, что быстрое движение колеса (или веревки) может оборвать связь, которая прикрепляет к нему камень674. И он знает, что данную силу может преодолеть центробежная сила, при условии что вращательное движение будет достаточно быстрым. Если он не признает этой возможности для случая вращения Земли и даже не замечает противоречия, которое он здесь допускает (как нам кажется, оно бросается в глаза), так это потому, что, с его точки зрения, естественная сила тяжести, которая тянет (или толкает) тела к центру Земли, не может быть расположена в той же плоскости, что и внешнее действие – случайное и насильственное, – которое производится связью, скрепляющей камень с колесом. Тяжесть действует постоянно и естественно. И для того чтобы центробежная сила преодолела это действие, понадобилось бы, говорит он, чтобы тело могло преодолеть самое себя675. А это означает, что, по мнению Галилея, тяжесть обосновывает и объясняет способность тела получать и накапливать движение: тело само благодаря своей же тяжести получает линейный импульс от земного вращения и, таким образом, тянется к центру Земли. Таким образом, – объясняет он Сагредо, – уменьшение тяжести не играет никакой роли; в самом деле, вместе с тяжестью уменьшается, причем в равной мере, также и способность получать импетус к движению676.

Импетус, конечно же, направлен прямолинейно – но только лишь на мгновение677. Однако никакое движение не происходит мгновенно, и никакое реальное движение не может совершаться по прямой линии: ему противостоит тяжесть. Прямолинейное движение возможно только для тела, лишенного тяжести. Но такое тело, увы, не было бы реальным и не могло бы получать импетус.

Странное дело! Именно успех, которого он достиг