События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное. - Анри Рухадзе

описывающей слабое затухание колебаний со спектром (12). Это затухание и стало впоследствии именоваться как «бесстолкновительное» затухание Ландау. Слово «бесстолкновительное» мы поместили в кавычки, поскольку в действительности уравнение Власова многочастичные (или коллективные) столкновения частиц учитывает; оно не учитывает лишь ближние парные взаимодействия. Для учета парных взаимодействий, как мы уже знаем, надо дополнить уравнение Власова в правой его части интегралом столкновений. Учет парных столкновений приведет к дополнительному затуханию δγ, причем

где νeff дается выражением (14).

Столкновительное затухание (21), так же как и «бесстолкновительное» (20), является малым по сравнению с частотой колебаний (12), что обеспечивается неравенствами (15) и (16). Однако возникает вопрос о соотношении между ними, или, другими словами, о соотношении между столкновительным затуханием и «бесстолкновительным» затуханием Ландау. При условии

«бесстолкновительное» затухание преобладает над столкновительным, в то время как в обратном пределе преобладающим оказывается столкновительное затухание. Отсюда следует, что «бесстолкновительное» затухание Ландау необходимо учитывать при rD << λ < rD√L. Поскольку для реальных плазм кулоновский логарифм L ~ 10, видим, что область, где «бесстолкновительное» затухание Ландау для случая чисто электронных продольных колебаний является существенным, на самом деле очень узка. Более того, время «бесстолкновительного» затухания ~ 1/γ, так же как и столкновительного ~ 1/δγ, как легко видеть, всегда намного больше времени дисперсионного расплывания, определяемого соотношением (16). В этом смысле на фоне дисперсионного расплывания эти затухания трудно заметить.

Отмеченные узость области существенности затухания Ландау, а также ее малость по сравнению с дисперсионным расплыванием имеют место только для термодинамически равновесной плазмы с максвелловской функцией распределения заряженных частиц по скоростям и только для чисто электронных продольных колебаний. В общем случае произвольных колебаний анизотропной и в особенности неравновесной плазмы затухание Ландау, а точнее «бесстолкновительная» диссипация, обусловленная полюсами подынтегральных выражений, возникающих при решении уравнения Власова и вычислении индуцированных в плазме зарядов и токов, оказывается существенной. Более того, она может даже менять знак и практически полностью определять поглощение и излучение электромагнитного поля в плазме. Отметим также, что столкновительная диссипация в полностью ионизованной плазме всегда намного меньше «бесстолкновительной», за исключением тех вырожденных случаев, когда последняя по каким-либо причинам оказывается малой. В этом суть плазмы как системы кулоновски взаимодействующих частиц, в этом сила приближения Власова для описания плазмы.

Сказанное стало физически очевидным после того, как была понята природа затухания Ландау, а следовательно, и всей «бесстолкновительной» диссипации. Эта природа явно видна из правила обхода полюса ω = kv, предложенного Ландау в виде соотношения (19). Из этого соотношения следует, что за диссипацию энергии в плазме ответственны частицы, для которых выполнено условие ω = kv, представляющие собой условие черенковского излучения и поглощения частицами электромагнитных волн. Очевидно, что вероятности излучения и поглощения поля заряженной частицей равны между собой, а поэтому какой из процессов — излучение (а следовательно, усиление поля) или поглощение (т. е. затухание поля) — преобладает, зависит от функции распределения частиц по скоростям в области v = ω/k. Если дf0/дv < 0, как это имеет место в случае равновесного максвелловского распределения, то, как видно из уравнения (17), происходит поглощение поля и возникает затухание Ландау; если же в этой области имеет место обратное неравенство, то в плазме возможно усиление электромагнитной волны[54].

Уравнение Власова как уравнение с самосогласованным полем учитывает непосредственное взаимодействие заряженной частицы с полем, т. е. процесс излучения и поглощения как эффект первого порядка малости по параметру (4). В следующем же порядке по этому параметру появляется взаимодействие частиц между собой как процесс излучения поля одной частицей и его поглощения другой. Это уже есть парное столкновение частиц, учитываемое интегралом столкновений Ландау. Таким образом, обобщенное кинетическое уравнение Власова-Ландау представляет собой кинетическое уравнение для описания плазмы, учитывающее взаимодействие частиц не только в первом порядке по параметру (4), но и во втором.

5. Все изложенное выше фактически уже было сказано в работе А. А. Власова [3], которая, в свою очередь, была инициирована работой Л. Д. Ландау [1]. В работе А. А. Власова [3] было дано физическое обоснование не только кинетического уравнения с самосогласованным полем уравнения Власова, учитывающего главную часть кулоновского взаимодействия частиц в плазме, но также было четко указано, что интеграл столкновений Ландау учитывает эффекты следующего порядка малости по кулоновскому взаимодействию частиц. Более того, А. А. Власов полагал, что кинетическое уравнение с самосогласованным полем обязательно должно быть дополнено интегралом столкновений Ландау, чтобы правильно описать затухание колебаний со временем. Нетривиальные решения однородной системы уравнений Власова-Максвелла вида плоской волны существуют, по мнению А. А. Власова, при определенной связи действительных ω и k, которая находится из дисперсионного уравнения. Таким образом, А. А. Власов впервые ввел в кинетической теории колебаний плазмы понятие дисперсионного уравнения и нашел его решение в виде ω = ω(k) для продольных колебаний. В свою очередь Л. Д. Ландау правильно указал на неполноту анализа малых колебаний, проведенного А. А. Власовым. При этом он показал, что даже в «бесстолкновительном» приближении малые начальные возмущения могут затухать со временем. Природа этого затухания связана с черенковским излучением и поглощением волн заряженными частицами плазмы. Найденное для случая равновесной максвелловской плазмы затухание продольных электронных колебаний по праву получило название затухания Ландау. Таким образом, работа Л. Д. Ландау [2] как бы завершила развитие физических основ кинетической теории А. А. Власова, указав на особенности решения введенного им кинетического уравнения. Математическое же обоснование кинетическая теория Власова получила, как уже отмечалось выше, в монографии Н.Н. Боголюбова [4]. В этой монографии Н. Н. Боголюбовым, с одной стороны, были разработаны методы получения кинетических уравнений в случае системы нейтральных частиц, сильно взаимодействующих между собой при тесных сближениях, но в среднем находящихся на расстояниях, больших характерного радиуса взаимодействия (уравнение Больцмана). С другой, им было обосновано кинетическое уравнение и в случае системы кулоновски взаимодействующих частиц, когда радиус взаимодействия намного больше среднего расстояния между частицами, и по этой причине средний потенциал взаимодействия намного меньше средней кинетической энергии частиц (уравнение Власова-Ландау). Таким образом, в этой монографии обоснованы как уравнение Больцмана, так и уравнение Власова с интегралом столкновений Ландау. Мы не будем здесь излагать суть этого обоснования, оно носит во многом математический характер и к тому же изложено во многих монографиях и даже учебниках по статистической физике газов и плазмы. Кроме того, насколько нам известно, на эту тему Ю.Л. Климонтовичем подготовлен обзор в «УФН», посвященный 50-летию публикации работы Л. Д. Ландау [2], и, естественно, проблемы обоснования кинетической теории плазмы в этом обзоре занимают центральное место.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});