События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное. - Анри Рухадзе

2. К началу 1930-х годов возникла острая необходимость в построении кинетической теории плазмы как нейтрального в целом газа заряженных частиц: электронов и ионов. Она диктовалась в первую очередь экспериментальными работами И. Ленгмюра, исследовавшего релаксационные процессы в плазме газового разряда в широком диапазоне плотностей и температур частиц. Первым, кто достиг существенного прогресса на этом пути, был Л. Д. Ландау, который в 1936 г. получил кинетическое уравнение для газа с кулоновским взаимодействием частиц. При выводе кинетического уравнения для функции распределения f(p, r, t) определяющей вероятность обнаружения частицы с импульсом p в точке r в момент времени t, Ландау исходил из уравнения Больцмана, в котором изменение f(p, r, t) определяется парными столкновениями[49]

Здесь

а (df/dt)st — интеграл парных упругих столкновений, являющийся билинейным функционалом f(p, r, t). В соответствии с духом больцмановского приближения сила F может быть только внешней, так что и поля E0 и B0 могут быть только внешними, их источниками в уравнениях Максвелла являются заданные плотности заряда ρ0 и тока j0.

Здесь уместно заметить, что при написании уравнения (1) для обычного газа незаряженных частиц Больцман рассматривал частицы как твердые сферы с геометрическим радиусом a0 (радиусом взаимодействия). Условие применимости кинетического описания посредством уравнения (1) для такой системы записывается в виде

где n0 — плотность частиц. Это неравенство, соответствующее малости размера частиц a0, т. е. радиуса их взаимодействия, по сравнению со средним расстоянием между частицами есть условие применимости газового приближения для системы нейтральных частиц. Оно означает, что частицы основное время находятся в свободном полете и лишь изредка сталкиваются. При этом, хотя потенциал взаимодействия и бесконечно велик, т. е. взаимодействие сильное, происходит такое взаимодействие редко.

Л. Д. Ландау при выводе уравнения (1) для газа из кулоновски взаимодействующих частиц условием типа (3) воспользоваться не мог, поскольку характерный радиус взаимодействия в этом случае «бесконечно» велик. Он воспользовался малостью средней потенциальной энергии взаимодействия частиц e2n1/3 по сравнению со средней кинетической энергией теплового движения χT и за условие газовости плазмы принял

где e — заряд электрона, n — плотность электронов, а χ — постоянная Больцмана. Это позволило ему получить сходящийся интеграл парных столкновений и записать кинетическое уравнение (1) в виде

где

Здесь u = v — v1 — относительная скорость сталкивающихся частиц, а L — кулоновский логарифм

Суммирование в (5) распространяется по электронам и ионам.

Заметим, что при условии (4) поле пробного статического заряда q в плазме оказывается экранированным, причем потенциал поля дается формулой

где  — дебаевский радиус, его можно считать характерным радиусом взаимодействия заряженных частиц в плазме. Именно это обстоятельство и использовал Ландау при выводе уравнения (5) и получил сходящийся интеграл столкновений, когда обрезал кулоновское взаимодействие на дебаевском радиусе.

Вместе с тем, если rp сравнить со средним расстоянием между частицами, то окажется, что их отношение велико:

Это означает, что в сфере действия заряженной частицы находится большое число других частиц, и в этом смысле возникает сомнение в справедливости учета только парных столкновений, а следовательно, и самого кинетического уравнения Ландау (5).

3. Первым, кто обратил внимание на неприменимость больцмановского приближения для описания плазмы, был А. А. Власов, который писал [3]: «Метод кинетического уравнения, учитывающий только парное взаимодействие — взаимодействие посредством удара — для системы заряженных частиц является аппроксимацией, строго говоря, неудовлетворительной. В теории таких совокупностей существенную роль должны играть силы взаимодействия и на далеких дистанциях. Следовательно, система заряженных частиц есть по существу не газ, а своеобразная система, стянутая далекими силами»[50]. При этом А. А. Власов обосновывал свое утверждение из неравенства (8), являющегося следствием (4). Согласно (4), внутри радиуса действия сил находится одновременно много частиц, в то время как, согласно приближению Больцмана (3), должно иметь место обратное условие. Это и натолкнуло А. А. Власова на мысль ввести взаимодействие данной частицы одновременно со всеми частицами плазмы посредством создаваемых этими частицами электромагнитных полей как главное взаимодействие. Парные же взаимодействия должны учитываться как малые поправки.

В результате кинетическое уравнение для электронов запишется в виде

В отличие от уравнения Ландау (5) здесь поля E и B — это полные поля, создаваемые не только внешними источниками, но и самими частицами плазмы. Поэтому они удовлетворяют уравнениям Максвелла

в которых кроме внешних источников pext и jext фигурируют индуцированные в плазме источники:

Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.

Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в η-1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей[51].

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});