Теории всего на свете - Коллектив авторов

Распределение согласно обратным степенным законам можно увидеть и при анализе сборов нового фильма в первые выходные проката, и в количестве заходов на интернет-страницы, и в количестве зрителей телевизионных шоу. Есть ли какая-то причина, по которой верхние строчки рейтинга так бессовестно процветают, а нижние так несправедливо наказываются? Короткий ответ – нет, особой причины тут не существует. Чтобы распределять награды столь несправедливо, никакой заговор не нужен. Пусть это и кажется демонстративной наглостью, но распределения, подчиняющиеся обратным степенным законам, ведут себя в соответствии с фундаментальным законом, определяющим поведение самых разных систем.

Обратные степенные законы проявляют себя не только в обществе: они доминируют и в статистике мира природы. Десятое по размеру озеро, скорее всего, будет примерно в 10 раз меньше самого крупного, сотое по высоте дерево в лесу – в 100 раз ниже самого большого, а тысячный по величине камень на берегу моря окажется в 1000 раз меньше самого крупного.

Нравятся они нам или нет, обратные степенные законы неизбежны, как турбулентность, энтропия или закон всемирного тяготения. При всем при том мы можем несколько сглаживать их проявления в социальном контексте: все-таки не стоит с безнадежным видом утверждать, что мы совсем не в состоянии контролировать имущественное неравенство между нашими богатыми и нашими бедными. Но общие очертания графиков для обратных степенных законов никуда не денутся. Можно сколько угодно негодовать на обратный степенной закон, а можно принять его, надеясь когда-нибудь сгладить безжалостную кривую, чтобы она не вздымалась вверх так круто.

Откуда у леопарда пятна

Сэмюэл Эббсман

Специалист по прикладной математике, старший научный сотрудник Ewing Marion Kauffman Foundation

В одной из своих знаменитых «Сказок просто так» Редьярд Киплинг повествует о том, как леопард обзавелся пятнами. Если довести этот подход до логического предела, выяснится, что нам нужны отдельные истории про самых разных животных, к примеру, про пятна леопарда, коровы или сплошную окраску пантеры. Пришлось бы добавить и рассказы о сложных узорах всевозможных других существ, от моллюсков до тропических рыб.

Но к счастью, существует единственное общее объяснение, показывающее, каким образом возникают все эти разнообразные узоры. Нужно лишь применить одну объединяющую теорию.

Еще в 1952 году, когда Алан Тьюринг опубликовал статью «Химические основы морфогенеза», ученые начали понимать, что простой набор математических формул может управлять всем разнообразием узоров и расцветок животного мира. Эта модель называется реакционно-диффузной и работает сравнительно просто. Представьте, что у вас есть несколько веществ, которые диффундируют по поверхности с различной скоростью и могут взаимодействовать друг с другом. В большинстве случаев процесс диффузии просто приводит к равномерному распределению того или иного вещества (скажем, сливки, влитые в кофе, в конце концов равномерно распределятся по всей кружке, и в результате мы получим светло-коричневую жидкость), однако при диффузии и одновременном взаимодействии нескольких веществ распределение цветов может оказаться неравномерным. Хоть наша интуиция, возможно, и противится этому, выясняется, что такой процесс не только происходит, но и может быть смоделирован при помощи простого набора уравнений, которые и объясняют невероятное разнообразие узоров и расцветок животного мира.

Биологи-математики исследуют свойства реакционно-диффузных уравнений с тех самых пор, как вышла статья Тьюринга. Они обнаружили, что варьирование параметров уравнений позволяет получить те самые «животные узоры», которые мы наблюдаем в природе. Некоторые математики изучают, как размеры и форма поверхности влияют на них. По мере изменения одного из параметров можно легко перейти от жирафьих пятен к кляксам, украшающим шкуру голштинских коров.

Эта изящная модель даже позволяет давать несложные прогнозы: к примеру, если пятнистое животное может иметь полосатый хвост (и очень часто имеет), то у полосатого животного никогда не будет пятнистого хвоста. И именно это мы и видим в жизни! Реакционно-диффузные уравнения не только дают все разнообразнейшие вариации узоров и расцветок, наблюдаемые в природе, но показывают и ограничения, присущие биологии. Киплинговское «просто так» можно без опасений променять на элегантность и универсальность этих уравнений.

Универсальный алгоритм принятия человеком решений

Станислас Дехан

Нейробиолог (Коллеж де Франс); автор книги Reading in the Brain: The New Science How We Read («Чтение мозга: новая наука о том, как мы читаем»)

Конечной целью науки, как некогда утверждал французский физик Жан Батист Перрен, должна стать «замена видимой сложности невидимой простотой». Может ли наука о психологии человека достичь этой амбициозной цели – открыть изящные правила, которые лежат в основе невероятного разнообразия человеческих мыслей? Многие ученые до сих пор считают психологию «нестрогой» наукой, чьи методы и объект исследования чересчур расплывчаты, чересчур сложны и чересчур пронизаны бесчисленными слоями культурных тонкостей, чтобы когда-нибудь привести их к элегантным математическим обобщениям. Однако ученые-когнитивисты знают, что это предубеждение ошибочно. Человеческое поведение следует строгим законам потрясающей математической красоты, причем следует им неукоснительно. Я представлю на ваш суд лишь один из них – математический закон, в соответствии с которым мы принимаем свои решения.

Похоже, все наши решения описываются простым правилом, в котором сплетаются воедино наиболее изящные математические находки прошлых веков: броуновское движение, закон Байеса, машина Тьюринга. Начнем с простейшего из решений: как мы определяем, что 4 меньше 5? Психологические изыскания показывают, что за этим несложным действием таится много сюрпризов. Во-первых, наше быстродействие при этом не так уж велико: на решение уходит почти полсекунды – от момента, когда на экране появляется цифра 4, до момента, когда мы нажимаем на кнопку. Во-вторых, наше время отклика сильно варьируется от опыта к опыту (в интервале от 300 до 800 миллисекунд), хотя мы всякий раз реагируем на один и тот же цифровой знак – «4». В‑третьих, мы допускаем ошибки. Это звучит смешно, однако даже при сравнении 4 и 5 мы иногда ошибаемся. В‑четвертых, наши успехи в этом действии различны при разном числовом значении показываемых нам объектов: когда числа находятся далеко друг от друга (скажем, если это 1 и 5), мы принимаем решение быстрее и делаем меньше ошибок по сравнению с теми случаями, когда числа близки (скажем, если это те же 4 и 5).

Все вышеприведенные факты, как и многие другие, можно объяснить одним законом: наш мозг принимает решения, накапливая доступную статистическую информацию и выдавая результат, когда общий объем информации превышает некоторый порог.

Поясню это утверждение. Принимая решение, мозг сталкивается с проблемой отделения сигнала от шума. Поступающая информация (которая служит основой для принятия решения) всегда содержит шум: фотоны попадают на нашу сетчатку в случайные моменты, нейроны передают информацию лишь с ограниченной надежностью, к тому же по всему мозгу то и дело происходят спонтанные всплески нейронной активности, добавляя шум. Даже когда на входе всего лишь число, анализ нейронной активности показывает, что количество, соответствующее этому числу, кодируется «шумной» группой нейронов, активизирующихся в полуслучайные моменты, причем некоторые нейроны сигнализируют «Я думаю, это 4», другие – «Это ближе к 5», третьи – «Это ближе к 3» и т. п. Поскольку мозговая система принятия решений видит лишь никак не помеченные пики нейронной активности, а не развернутые символы, отделение зерен от плевел становится для нее настоящей проблемой.

Как же вынести надежное решение в присутствии шума? Впервые математический ответ для этой задачи предложил Алан Тьюринг, разгадывая во время Второй мировой войны код «Энигмы» в Блетчли-парке – секретном центре британской разведки. Тьюринг обнаружил небольшую погрешность в действиях немецкой шифровальной машины «Энигма»; это означало, что некоторые немецкие послания содержали небольшое количество понятной британским дешифровщикам информации. Но, к сожалению, ее не хватало, чтобы разгадать шифр. И тогда Тьюринг для объединения всех разрозненных «улик» применил закон Байеса. Не останавливаясь на математическом аппарате, скажем лишь, что закон Байеса дает простой способ учесть и сложить вместе все такие «намеки на истину», приплюсовать их к уже имеющимся сведениям и в результате получить обобщенную статистическую картину, которая покажет искомую «общую сумму».