Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Самый важный факт состоит в том, что все рисуемые наукой картины природы, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… Природа, по-видимому, очень «хорошо осведомлена» о правилах чистой математики… Во всяком случае, вряд ли можно усомниться в том, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам.

Один из крупнейших историков и философов науки Пьер Дюгем в своей книге «Цель и структура физической теории», подобно Джинсу, постепенно переходит от сомнений к положительным суждениям. Сначала Дюгем описывает физическую теорию как «абстрактную систему, предназначенную для суммирования и логической классификации определенной группы экспериментальных законов и не претендующую на их объяснение». По Дюгему, теории носят приближенный, временный характер и «лишены ссылок на объективную реальность». Физика имеет дело лишь с данными чувственного опыта, и нам необходимо избавиться от иллюзии, будто теоретизируя, мы «срываем покров с данных чувственного опыта». Когда гениальный ученый привносит математический порядок и ясность в хаос чувственных восприятий, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими, однако, истинной природы окружающего нас мира. Тем не менее Дюгем заканчивает утверждением: «Невозможно поверить, что этот порядок и организация [вносимые математической теорией] не являются отражением реальной организации» ([13], с. 399).

Верил в существование объективного реального мира и один из искуснейших аналитиков XIX в. Шарль Эрмит (1822-1901). В письме математику Стильтьесу Эрмит утверждал:

Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.

([13], с. 372.)

По другому поводу Эрмит сказал: «В математике мы больше слуги, чем господа».

В своей книге «Философия математики и естественных наук» (1949) Герман Вейль высказывает следующее мнение:

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.

([13], с. 399.)

Вейль не исключает, что именно мечта о гармонии Вселенной вдохнула жизнь в научное мышление, ибо «наука погибла бы без поддержки трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением — с другой» ([13], с. 399).

Более удивительно, что интуиционист Вейль согласился с тезисом, провозглашающим, что о «правильности» математики можно судить по степени ее применимости к физическому миру. Вейль внес огромный вклад в математическую физику, и ему не хотелось жертвовать полезными результатами. В своей книге «Философия математики и естественных наук» Вейль признается:

Насколько убедительнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга — Шрёдингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.

Здесь Вейль открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук. Математические теоремы, подобно физическим утверждениям, могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат пересмотру, но надежным критерием их правильности служит их соответствие реальности.

Другое философское течение, которое можно было бы назвать эмпирическим, отстаивает версию, согласно которой математика выводит только приближенные законы для описания нашего знания природы. Среди тех, кто признавал наличие у математики эмпирических оснований и критериев, видное место занимал Джон Стюарт Милль. Он допускал, что математика обладает большей общностью, чем некоторые физические науки, но видел «оправдание» математики лишь в том, что ее утверждения проверены и подтверждены шире и основательнее, чем утверждения физических наук. Следовательно, заключал Милль, глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтвержденных гипотез и теорий других наук. Причина подобного заблуждения кроется в том, что эти люди считают математические теоремы вполне достоверными, а физические теории — весьма вероятными или всего лишь подкрепляемыми опытом. Милль обосновывал свои взгляды философскими доводами. Тем больше оснований быть прагматиками у тех, кто работал и работает в так называемых «основаниях математики».

В частности, мнение Милля разделяет один из выдающихся специалистов по основаниям математики Анджей Мостовски. На конгрессе, состоявшемся в Польше в 1953 г., он заявил:

Единственная непротиворечивая точка зрения, согласующаяся не только со здравым смыслом, но и с математической традицией, сводится по существу к допущению того, что источник и высший смысл понятия числа (не только натурального, но и вещественного) лежит в опыте и практической применимости. То же относится и к понятиям теории множеств в том объеме, в каком они необходимы для классических областей математики.

([13], с. 379.)

Мостовски идет дальше. Он говорит, что математика является естественной наукой. Ее концепции и методы коренятся в опыте, и всякая попытка обосновать математику, не учитывая ее «родословную» в естествознании, обречена на провал.

Выдающийся специалист по математической логике Уиллард Ван Орман Куайн также склонялся к тому, чтобы считать за критерии правильности математических результатов физическую истинность следующих из них выводов. В статье, опубликованной в 1958 г. в серии «Философское значение современной логики» Куайн утверждал:

Теорию множеств и всю математику разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук — состоящими из истин, или гипотез, правильность которых подтверждается не столько сиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках.

([13], с. 380.)

Даже Бертран Рассел, провозгласивший в 1901 г., что здание математической истины — логической и одновременно физической — останется незыблемым навеки, в 1914 г. был вынужден признать, что «наше знание геометрии физического мира носит синтетический, а не априорный характер». Иначе говоря, геометрия не следует из одной лишь логики. Во втором издании «Оснований математики» (1926) Рассел пошел на еще большие «уступки». По его словам, в правильность логики и математики так же, как и в правильность уравнений Максвелла, мы «верим потому, что из наблюдений убеждаемся в надежности некоторых логических следствий, к которым они приводят».

Все эти ведущие ученые, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что математика — одна из разновидностей человеческой деятельности и потому, как и все творения человека, не лишена слабостей и недостатков. Всякое чисто формальное, чисто логическое объяснение — не более чем псевдоматематика, фикция, даже легенда, хотя и не лишенная оснований.