5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

(11.5) и (11.6), получаем, что в нашей простой теории

(11.7)

Если в единице объема содержится N атомов, то поляри­зация (дипольный момент единицы объема) дается формулой

(11.8)

Объединяя (11.1) и (11.8), получаем

(11.9)

или в силу (11.7)

(11.10)

С помощью уравнения (11.9) можно предсказать, что ди­электрическая проницаемость х различных газов должна зависеть от плотности газа и от резонансной частоты w0.

Наша формула, конечно, лишь очень грубое приближение, потому что в уравнении (11.2) мы воспользовались моделью, игнорирующей тонкости квантовой механики. Например, мы считали, что атом имеет только одну резонансную частоту, тогда как на самом деле их много. Чтобы по-настоящему вычислить поляризуемость атомов, нужно воспользоваться последовательной квантовомеханической теорией, однако и классический подход, изложенный выше, дает вполне разумную оценку.

Посмотрим, сможем ли мы получить правильный порядок величины диэлектрической проницаемости какого-нибудь ве­щества. Возьмем, к примеру, водород. Мы уже оценивали (вып. 4, гл. 38) энергию, необходимую для ионизации атома водорода, и получили приближенно

(11.11)

Для оценки собственной частоты w0 можно положить эту энер­гию равной ћw0— энергии атомного осциллятора с собственной частотой w0. Получаем

Пользуясь этой величиной в уравнении (11.7), находим элек­тронную поляризуемость

(11.12)

Величина (h2/mez) есть радиус основной орбиты атома Бора (см. вып. 4, гл. 38), равный 0,528 А. При нормальном давлении и температуре (1 атм, 0°С) в газе на 1 см3приходится 2,69·1019 атомов, и уравнение (11.9) дает

c= 1+ (2,69·1019) 16p (0,528·10-8)3 = 1,00020. (11.13) Измеренная на опыте диэлектрическая проницаемость равна

cэксп = 1,00026.

Видите, наша теория почти правильна. Лучшего нельзя было и ожидать, потому что измерения проводились, конечно, с обычным водородом, обладающим двухатомными молекулами, а не одиночными атомами. Не следует удивляться тому, что поляризация атомов в молекуле не совсем такая, как поляри­зация отдельных атомов. На самом деле молекулярный эффект не столь велик. Точное квантовомеханическое вычисление вели­чины a для атомов водорода дает результат, превышающий (11.12) примерно на 12% (вместо 16p получается 18p), поэтому он предсказывает для диэлектрической проницаемости значе­ние, более близкое к наблюденному. Во всяком случае, со­вершенно очевидно, что наша модель диэлектрика вполне хороша.

Еще одна проверка нашей теории. Попробуем применить уравнение (11.12) к атомам с большей частотой возбуждения. Например, чтобы отобрать электрон у гелия, требуется 24,5 в, тогда как для ионизации водорода необходимы 13,5 в. Поэтому мы предположим, что частота поглощения w0 для гелия должна быть примерно в два раза больше, чем для водорода, а a должна быть меньше в четыре раза. Мы ожидаем, что

хгелнй»1,000050, а экспериментально получено

xгелий=1,000068,

так что наши грубые оценки показывают, что мы на верном пути. Итак, мы поняли диэлектрическую проницаемость не­полярного газа, но только качественно, потому что пока мы еще не использовали правильную атомную теорию движения атомных электронов.

§ 3. Полярные молекулы; ориентационная поляризация

Теперь рассмотрим молекулу, обладающую постоянным дипольным моментом р0 , например молекулу воды. В отсутст­вие электрического поля отдельные диполи смотрят в разных направлениях, так что суммарный момент в единице объема равен нулю. Но если приложить электрическое поле, то сразу же происходят две вещи: во-первых, индуцируется добавочный дипольный момент из-за сил, действующих на электроны; эта часть приводит к той же самой электронной поляризуемости, которую мы нашли для неполярной молекулы. При очень точ­ном исследовании этот эффект, конечно, нужно учитывать, но мы пока пренебрежем им. (Его всегда можно добавить в конце.) Во-вторых, электрическое поле стремится выстроить отдельные диполи, создавая результирующий момент в единице объема.

Фиг. 11.2. В газе полярных молекул отдельные моменты ориен­тированы случайным образом, средний момент в небольшом объеме равен нулю (а); под действием электрического поля в среднем возникает некоторое выстраивание молекул (б).

Если бы в газе выстроились все диполи, поляризация была бы очень большой, но этого не происходит. При обычных темпе­ратурах и напряженностях поля столкновения молекул при их тепловом движении не позволяют им как следует выстроить­ся. Но некоторое выстраивание все же происходит, а отсюда и небольшая поляризация (фиг. 11.2). Возникающая поляри­зация может быть подсчитана методами статистической меха­ники, описанными в гл. 40 (вып. 4).

Чтобы использовать этот метод, нужно знать энергию диполя в электрическом поле. Рассмотрим диполь с моментом р0 в электрическом поле (фиг. 11.3). Энергия положительного за­ряда равна qj (1), а энергия отрицательного есть —qj(2). Отсюда получаем энергию диполя

или

(11.14)

где q — угол между р0 и Е. Как и следовало ожидать, энергия становится меньше, когда диполи выстраиваются вдоль поля. Теперь с помощью методов статистической механики мы выясним, насколько сильно диполи выстраиваются. В гл. 40 (вып. 4) мы нашли, что в состоянии теплового равновесия относительное число молекул с потенциальной энергией U пропорционально

(11.15)

Фие. 11.3. Энергия диполя р0 в поле Е равна —р0·Е.

где U (х, у, z) — потенциальная энергия как функция поло­жения. Оперируя теми же аргументами, можно сказать, что если потенциальная энергия как функция угла имеет вид (11.14), то число молекул под углом 0, приходящееся на единичный телесный угол, пропорционально ехр (— U/kT).

Полагая число молекул на единичный телесный угол, на­правленных под углом q, равным n(q), имеем

(11.16)

Для обычных температур и полей показатель экспоненты мал, и, разлагая экспоненту, можно воспользоваться прибли­женным выражением

(11.17)

Найдем n , проинтегрировав (11.17) по всем углам; результат должен быть равен N, т.е. числу молекул в единице объема. Среднее значение cos q при интегрировании по всем углам есть нуль, так что интеграл равен просто n0 , умноженному на полный телесный угол 4p. Получаем

(11.18)

Из (11.17) видно, что вдоль поля (cosq=1) будет ориен­тировано больше молекул, чем против поля (cosq = -1). Поэтому в любом малом объеме, содержащем много молекул, возникнет суммарный дипольный момент на единицу объема, т.е. поляризация Р. Чтобы вычислить Р, нужно знать векторную сумму всех молекулярных моментов в единице объема. Мы зна­ем, что результат будет направлен вдоль Е, поэтому нужно только просуммировать компоненты в этом направлении (ком­поненты, перпендикулярные Е, при суммировании дадут нуль):

Мы можем оценить сумму, проинтегрировав по угловому распределению. Телесный угол, отвечающий q, есть 2psin qdq; отсюда

(11.19)

Подставляя вместо n(q) его выражение из (11.17), имеем

что легко интегрируется и приводит к следующему результату:

(11.20)

Поляризация пропорциональна полю Е, поэтому диэлектри­ческие свойства будут обычные. Кроме того, как мы и ожидаем, поляризация обратно пропорциональна температуре, потому что при более высоких температурах столкновения больше разрушают выстроенность. Эта зависимость вида 1/T называется законом Кюри. Квадрат постоянного момента р0появляется по следующей причине: в данном электрическом поле выстраиваю­щая сила зависит от р0, а средний момент, возникающий при выстраивании, снова пропорционален р0. Средний индуцируе­мый момент пропорционален р02

Теперь посмотрим, насколько хорошо уравнение (11.20) согласуется с экспериментом. Возьмем водяной пар. Поскольку мы не знаем, чему равно р0, то не можем прямо вычислить и Р, но уравнение (11.20) предсказывает, что x-1 должна ме­няться обратно пропорционально температуре, и это нам сле­дует проверить.