Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов - Майкл Мобуссин

Даниил Бернулли, выходец из семьи выдающихся математиков, представил эту проблему перед Императорской академией наук в 1738 г.1 Игра Бернулли, известная как санкт-петербургский парадокс, бросает вызов классической теории, которая говорит, что справедливый взнос за участие в игре равен ожидаемой ценности. Однако ожидаемая ценность в этой игре бесконечна. Каждый круг приносит выигрыш в $1 (вероятность 1/2n и выигрыш в $2n, или 1/2 × $2, 1/4 × $4, 1/8 × $8 и т. д.). Следовательно, ожидаемая ценность = 1 + 1 + 1 + 1… = ∞.

Естественно, очень немногие захотели бы заплатить даже $20, чтобы сыграть в такую игру. Бернулли попробовал объяснить этот парадокс предельной полезностью денег. Он утверждал, что сумма денег, которую человек готов заплатить за участие в игре, зависит от его ресурсов, – чем больше у вас денег, тем больше вы готовы заплатить. Однако объяснение Бернулли не вполне удовлетворительно. Санкт-петербургский парадокс уже два с половиной столетия заставляет размышлять над ним философов, математиков и экономистов2.

Если оставить в стороне философские моменты, санкт-петербургский парадокс проливает свет на две актуальные для инвесторов проблемы. Первая – распределение доходности на фондовом рынке не соответствует модели, принятой в стандартной финансовой теории. Это отклонение от теории особенно важно в таких областях, как управление рисками, эффективность рынков и индивидуальный выбор акций.

Вторая проблема касается оценки акций роста. Сколько вы готовы заплатить сегодня за акции с низкой вероятностью очень высокого выигрыша? В мире, где стоимость и доходность подвержены резким скачкам, этот вопрос становится насущным как никогда.

Что значит «нормальный»?

Распределения цены актива имеют большое практическое значение для портфельных менеджеров. Стандартная финансовая теория предполагает, что изменения цены активов следуют нормальному распределению, имеющему форму хорошо известной колоколообразной кривой. Это предположение верно бо́льшую часть времени, что позволяет аналитикам использовать очень робастные (устойчивые) вероятностно-статистические методы оценки. Например, для выборки, подчиняющейся нормальному распределению, вы можете рассчитать среднее значение и охарактеризовать вероятный разброс значений относительно среднего.

Однако многое в природе, включая сотворенный человеком фондовый рынок акций, не соответствует понятию «нормальный»3. Многие природные системы имеют две определяющие характеристики: большее число меньших по величине частей и подобные друг другу части в разных масштабах. Например, дерево имеет большой ствол и множество меньших по размеру веток, при этом маленькие ветви подобны большим. Такие системы называются фрактальными. В отличие от нормального распределения никакая средняя величина не характеризует фрактальную систему. В приложении 32.1 визуально сравниваются нормальная и фрактальная системы и приведены графики плотности распределения вероятностей, соответствующие этим данным. Фрактальные системы подчиняются степенным законам4.

Использование статистики нормальных распределений для характеристики фрактальной системы, подобной финансовым рынкам, потенциально очень опасно. А между тем теоретики и практики проделывают это каждый день5. Различия между двумя системами сводятся к вероятностям и прибылям. Для фрактальных систем характерны немногие, но очень крупные события, выходящие за пределы нормального распределения. Классический пример – рыночный крах 1987 г. Вероятность, согласно нормальному распределению, более чем 20 %-ного падения рынка была бесконечно малой, близкой к нулю. А убытки тем не менее ошеломили, превысив $2 трлн.

Сравнение обычной игры в орлянку и санкт-петербургской игры иллюстрирует это. Предположим, вы подбрасываете монету и получаете $2, если выпадает орел, и ничего не получаете, если выпадает решка. Математическое ожидание выигрыша в такой игре равно $1, что также равняется сумме взноса, который вы были бы готовы заплатить, чтобы сыграть в эту игру в справедливом казино. Я смоделировал миллион раундов по 100 бросков в каждом (график распределения выигрышей показан в приложении 32.2) и, как и ожидалось, получил четкое нормальное распределение6.

Затем я смоделировал миллион раз санкт-петербургскую игру и также составил график распределения выигрышей (см. приложение 32.3). Хотя в основе лежит стохастический процесс, исходы подчиняются степенному закону. Например, в половине случаев выигрыш составляет $2, а в трех четвертях случаев – $4 или меньше. Однако серия из 30 бросков дает выигрыш $1,1 млрд, но вероятность такого исхода составляет лишь 1 к 1,1 млрд. Как мы уже говорили, фрактальная система характеризуется большим количеством мелких событий и несколькими очень крупными событиями. А средний выигрыш на игру в санкт-петербургском парадоксе непостоянен, так что никакое среднее точно не описывает долгосрочный результат игры.

Фрактален ли фондовый рынок? Бенуа Мандельброт доказал: при удлинении или сжатии горизонтальной оси прогрессии цен (фактически ускорении или замедлении времени) прогрессии цен действительно фрактальны. Мало того что редкие сильные изменения цены перемежаются большим количеством меньших изменений, так изменения цены еще и сходны в различных масштабах времени (например, на дневных, недельных и месячных интервалах). Мандельброт называет финансовые временны́е ряды мультифрактальными, чтобы отразить корректировку по времени.

В значимой и увлекательной книге «Причины краха финансовых рынков» геофизик Дидье Сорнетт доказывает, что распределения на фондовом рынке включают две различные совокупности: тело (которое можно смоделировать с помощью стандартной теории) и хвост (который создается совсем другим механизмом). Анализ Сорнеттом рыночных спадов убедительно опровергает предположение о том, что цены акций независимы друг от друга, – краеугольный камень классической финансовой теории. Его работа предлагает свежий и глубокий взгляд на недостатки теории финансов7.

Санкт-петербургский парадокс и инвестирование в акции роста

Санкт-петербургский парадокс, кроме того, позволяет по-новому взглянуть на оценку акций роста8. Сколько вы готовы заплатить за очень небольшую вероятность того, что компания сможет всегда существенно увеличивать свой денежный оборот?9

Дэвид Дюран осветил этот вопрос в 1957 г. в своей классической статье «Акции роста и петербургский парадокс»10. Он всячески предостерегает от неосторожного обращения с нормальным распределением. Стоит заметить, что сегодня проблема стоимостной оценки низкой вероятности значительного роста стала гораздо актуальнее, чем 50 лет назад, когда Дюран проводил свои исследования.

Взять хотя бы тот факт, что из почти 2000 технологических компаний, прошедших IPO с 1980 по 2006 г., менее 5 % отвечают за более чем 100 %-ное увеличение стоимости акций, превысившее $2 трлн11. И даже в пределах этой маленькой группы львиная доля огромного выигрыша досталась лишь горстке лидеров. Учитывая, что на многих растущих рынках действует закон «Победитель получает все», вряд ли стоит ожидать, что в будущем модели создания стоимости и доходности будут стремиться к нормальному распределению.

Кроме того, данные показывают, что кривая распределения экономической рентабельности инвестиций в корпоративной Америке сегодня стала шире, чем в прошлом12. Это значит, что самые успешные компании ожидают более весомые «трофеи», чем когда-либо прежде. Как и в санкт-петербургской игре, в большинстве случаев выигрыш будет скромным, но в некоторых случаях – просто огромным. Какова же ожидаемая ценность? Сколько вы готовы заплатить за участие в игре?

Интегрируя частности

Санкт-петербургский парадокс существует уже столетия, но сегодня его уроки актуальны как никогда. Одна из основных задач инвестирования – поймать (или, наоборот, избежать) событие с низкой вероятностью и с высокой степенью воздействия. К сожалению, стандартная финансовая теория немного скажет нам о предмете.

Глава 33

«Мечта смотрителя»

Почему, прислушиваясь к индивидам, вы можете навредить своему благосостоянию

В прошлом веке наука в основном расчленяла системы, чтобы понять, из чего она состоит, а затем как можно детальнее изучала ее составляющие… Но то, как эти части взаимодействуют между собой, чтобы произвести некоторые из наиболее очевидных всеобщих свойств, фактически оставалось в прошлом почти полной тайной.

Стивен Вольфрам. Наука нового типа

За пределами мира Ньютона

Как возникает сознание? Этот вопрос терзал философов и ученых на протяжении многих веков. Мы научились лечить болезни, высадили человека на Луну и исследовали многие аспекты материального мира. Однако сегодня ведущие научные светила с трудом могут определить, что такое сознание, не говоря уже о том, чтобы его объяснить. Почему мы добились столь впечатляющих успехов в одних областях и столь малых в других, таких как тайны сознания?