Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов - Майкл Мобуссин

Сногсшибательные хвосты

Нормальное распределение – краеугольный камень в финансовой науке, включая модели случайных блужданий, ценообразования на финансовые активы, оценки инвестиционных рисков (VaR-модели) и модель Блэка-Шоулза.

Возьмем VaR-модели, которые пытаются количественно оценить предельную величину убытков для данного портфеля с заданной вероятностью. При том что существует много разновидностей VaR-моделей, базовый вариант использует в качестве меры риска стандартное отклонение. В случае нормального распределения рассчитать стандартное отклонение и, следовательно, риск относительно просто. Но, если изменения цены не подчиняются нормальному распределению, стандартное отклонение может быть чрезвычайно недостоверным показателем риска2.

Исследования (некоторые из них охватывают период с начала 1960-х гг.) показывают, что изменения цен не соответствуют нормальному распределению. В приложении 31.1 приведено частотное распределение дневной доходности индекса S&P 500 за период с 1 января 1978 по 30 марта 2007 г. и нормальное распределение, выведенное на основе этих данных. Приложение 31.2 наглядно иллюстрирует разницу между фактической доходностью и нормальным распределением. Анализ различных классов активов и временны́х горизонтов дает похожие результаты3.

Эмпирические данные показывают следующее:

• небольшие изменения появляются чаще, чем предсказывает нормальное распределение;

• изменений средней величины происходит меньше, чем подразумевает модель (примерно от 0,5 до двух стандартных отклонений);

• хвосты распределения толще, чем предполагается стандартной моделью. Это говорит о том, что значительные изменения происходят чаще, чем ожидается.

Толстые хвосты заслуживают отдельного комментария. Эти резкие изменения на рынке случаются значительно чаще, чем подразумевает стандартная модель, и могут оказывать существенное влияние на доходность портфеля – особенно при высокой доле заемных средств. Например, во время обвала фондового рынка в октябре 1987 г., который был исключен мной из расчетов ради наглядности, индекс S&P 500 рухнул более чем на 20 % – изменение, соответствующее 20 стандартным отклонениям от среднего. Вот что говорит Роджер Ловенстайн:

Впоследствии экономисты на основе исторической волатильности рынка рассчитали, что, если бы рынок работал каждый день с момента создания Вселенной, вероятность столь сильного однодневного падения была бы очень низка. Даже если бы Вселенная просуществовала в миллиард раз дольше, такой крах все равно был бы теоретически «маловероятным»4.

Модель «много малых и немного крупных событий» характерна не только для цены активов. На самом деле это признак сложных систем, находящихся в состоянии «самоорганизующейся критичности». Самоорганизация является результатом взаимодействия между индивидуальными агентами (в данном случае инвесторами) и не требует централизованного управления. По достижении системой некоего критического состояния даже небольшие воздействия могут приводить к масштабным изменениям. Самоорганизующаяся критичность характерна для самых разных систем – от землетрясений и вымирания видов до транспортных пробок5.

Существует ли механизм, позволяющий объяснить эти эпизодические выбросы? Я думаю, да. Как уже говорилось в других эссе, рынки хорошо функционируют в том случае, когда взаимодействует достаточное число разнообразных инвесторов6. И наоборот, когда разнообразие исчезает и инвесторы начинают действовать одинаково (чему может способствовать выход с рынка некоторых из них), рынки становятся неустойчивыми.

Исследованию феномена стадного поведения посвящена масса литературы. Под стадным поведением понимается ситуация, когда большая группа инвесторов совершает одинаковые действия на основе наблюдения за другими, независимо от своего индивидуального знания. Со стадным поведением тесно связан и феномен информационных каскадов – еще один наглядный пример систем с самоорганизующейся критичностью7.

Что означают толстые хвосты для инвесторов?

О’кей: значительные изменения цен случаются чаще, чем предполагалось. Но что это значит для инвесторов с практической точки зрения? Я вижу здесь несколько важных моментов:

• Причинно-следственное мышление. Одно из основных свойств систем с самоорганизующейся критичностью – отсутствие линейной зависимости между величиной воздействия и величиной результирующего события. Иногда небольшие воздействия могут приводить к крупномасштабным событиям. Поэтому не нужно надеяться на то, что вам удастся найти причины для всех следствий.

• Риск и вознаграждение. Стандартная модель оценки риска, модель ценообразования на финансовые активы, предполагает линейную зависимость между риском и вознаграждением. Однако системам с самоорганизующейся критичностью, к которым относится и фондовый рынок, свойственна нелинейность. Инвесторы должны помнить о том, что финансовая теория стилизует реальные эмпирические данные. Тот факт, что академическое и инвестиционное сообщества так часто говорят о событиях в диапазоне пяти и более стандартных отклонений, можно рассматривать как прямое доказательство того, что широко используемые статистические меры не подходят для фондовых рынков.

• Формирование портфеля. Инвесторы, которые формируют портфель на основе стандартного статистического подхода, могут недооценивать риски (опыт против оценки риска). Эта проблема особенно актуальна для портфелей, которые широко опираются на заемные средства для повышения доходности. Многие из самых громких крахов в мире хедж-фондов были прямым результатом событий, связанных с толстыми хвостами. Следовательно, при формировании портфелей такие события должны обязательно учитываться инвесторами.

Как нужно действовать в мире, где правят толстые хвосты? Прежде всего необходимо оценить текущие ожидания, лежащие в основе цены актива, и затем рассмотреть различные диапазоны исходов и их вероятности. Этот процесс позволяет инвесторам учитывать в своих решениях потенциальные события, связанные с толстыми хвостами8.

Традиционная финансовая теория значительно продвинула вперед наше понимание рынков. Но некоторые ее фундаментальные предположения не подтверждаются фактами. Инвесторы должны знать о таких расхождениях между теорией и реальностью и соответственно корректировать свой процесс принятия инвестиционных решений (и портфели).

Глава 32

Интегрируя частности

Два урока санкт-петербургского парадокса

Формулы сокращения риска в основе портфельной теории полагаются на ряд обязательных и в конечном счете необоснованных допущений. Сначала предполагается, что изменения цен статистически независимы от друг друга… Второе предположение – все изменения цен распределяются по модели, которая соответствует стандартной колоколообразной кривой… Соответствуют ли финансовые данные таким предположениям? Конечно, нет.

Бенуа Мандельброт. Мультифрактальная прогулка по Уолл-стрит

Сам факт того, что петербургская проблема не получила единственного и всеми приемлемого решения за более чем 200 лет вопреки попыткам крупнейших умов мира, предполагает, что проблема акций роста не оставляет никаких надежд на удовлетворительное решение.

Дэвид Дюран. Акции роста и петербургский парадокс

Вызов Бернулли

Компетентные инвесторы гордятся своей способностью определять правильную цену финансовых заявок. Эта способность является сутью инвестирования: рынок – лишь средство для обмена денег на будущие заявки и наоборот.

Хорошо, вот вам ситуация для оценки: предположим, некто подбрасывает безукоризненную монету. Если она упадет кверху орлом, вы получаете $2 и игра заканчивается. Если же решкой, монету бросают снова. Если при втором броске выпадет орел, вы получаете $4, если решка – игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается (то есть $2, $4, $8, $16 и т. д.), и вы переходите на следующий круг, пока не выпадет орел. Сколько бы вы заплатили за право сыграть в такую игру?

Даниил Бернулли, выходец из семьи выдающихся математиков, представил эту проблему перед Императорской академией наук в 1738 г.1 Игра Бернулли, известная как санкт-петербургский парадокс, бросает вызов классической теории, которая говорит, что справедливый взнос за участие в игре равен ожидаемой ценности. Однако ожидаемая ценность в этой игре бесконечна. Каждый круг приносит выигрыш в $1 (вероятность 1/2n и выигрыш в $2n, или 1/2 × $2, 1/4 × $4, 1/8 × $8 и т. д.). Следовательно, ожидаемая ценность = 1 + 1 + 1 + 1… = ∞.