Физика для всех. Движение. Теплота - Александр Китайгородский

Этот результат вычисления означает, что при больших оборотах асимметричное колесо, вместо того чтобы разорвать вал, изгибает его так, чтобы уничтожилось влияние асимметрии. Изгибающийся вал центрирует вращающиеся части, своим изгибом переносит центр тяжести на ось вращения и таким образом приводит к нулю действие центробежной силы.

Гибкость вала является не только не недостатком, но и, напротив, необходимым условием устойчивости. Ведь для устойчивости валу надо прогнуться на величину a и при этом не сломаться.

Внимательный читатель может заметить погрешность в проведенных рассуждениях. Если сместить «центрирующий» при больших оборотах вал из найденного нами положения равновесия и рассматривать только центробежную и упругую силы, то легко заметить, что это равновесие неустойчиво. Оказалось, однако, что кориолисовы силы спасают положение и делают это равновесие вполне устойчивым.

Турбина начинает медленно вращаться. Вначале, когда n очень мало, дробь k/(4π2n2M) будет иметь большое значение. Пока эта дробь при увеличении числа оборотов будет больше единицы, величина прогиба вала будет иметь тот же знак, что и величина первоначального смещения центра тяжести колеса. Таким образом, в эти начальные моменты движения прогибающийся вал не центрирует колесо, а, напротив, своим изгибом увеличивает общее смещение центра тяжести, а значит, и центробежную силу. По мере увеличения числа оборотов n (но при сохранении условия k/(4π2n2M) > 1) смещение растет и, наконец, наступает критический момент. При k/(4π2n2M) = 1 знаменатель формулы для смещения l обращается в нуль, значит, прогиб вала становится формально бесконечно большим. При такой скорости вращения вал сломается. При запуске турбины этот момент должен быть пройден очень быстро, надо проскочить критическое число оборотов и перейти к значительно более быстрому движению турбины, при котором начнется явление самоцентрирования, описанное выше. Но что это за критический момент? Мы можем переписать его условие в следующем виде:

Или, заменяя число оборотов на период вращения при помощи соотношения n = 1/T и извлекая корень, в такой форме:

Что же за величину получили мы в правой части равенства? Формула выглядит весьма знакомой. Обратившись к стр. 110, мы видим, что в правой части у нас фигурирует собственный период колебания колеса на валу. Период 2π·sqrt(M/k) – это период, с которым колебалось бы колесо турбины массы M на валу с жесткостью k, если бы мы оттянули колесо в сторону, чтобы оно колебалось само по себе.

Итак, опасный момент – это совпадение периода вращения колеса турбины с собственным периодом колебания системы турбина – вал. В существовании критического числа оборотов повинно явление резонанса.

VII. Тяготение

На чем Земля держится?

В далекие времена на этот вопрос давали простой ответ: на трех китах. Правда, оставалось неясным, на чем держатся киты. Однако наших наивных прародителей это не смущало.

Правильные представления о характере движения Земли, о форме Земли, о многих закономерностях движения планет вокруг Солнца возникли задолго до того, как был дан ответ на вопрос о причинах движения планет.

И в самом деле, на чем «держатся» Земля и планеты? Почему они двигаются вокруг Солнца по определенным путям, а не улетают от него прочь?

Ответа на такие вопросы долгое время не было, и церковь, боровшаяся против коперниковой системы мира, использовала это для отрицания факта движения Земли.

Открытием истины мы обязаны великому английскому ученому Исааку Ньютону (1643–1727).

Известный исторический анекдот говорит, что, сидя в саду под яблоней, задумчиво наблюдая за тем, как от порывов ветра то одно, то другое яблоко падает на землю, Ньютон пришел к мысли о существовании сил тяготения между всеми телами вселенной.

В результате открытия Ньютона выяснилось, что множество, казалось бы, разнородных явлений – падение свободных тел на землю, видимые движения Луны и Солнца, океанские приливы и т.д. – представляют собой проявления одного и того же закона природы: закона всемирного тяготения.

Между всеми телами Вселенной, говорит этот закон, будь то песчинки, горошинки, камни или планеты, действуют силы взаимного притяжения.

На первый взгляд закон кажется неверным: мы что-то не замечали, чтобы притягивались друг к другу окружающие нас предметы. Земля притягивает к себе любые тела, в этом никто не усомнится. Но, может быть, это особое свойство Земли? Нет, это не так. Притяжение двух любых предметов невелико и лишь поэтому не бросается в глаза. Тем не менее специальными опытами его можно обнаружить. Но об этом позже.

Наличие всемирного тяготения, и только оно, объясняет устойчивость солнечной системы, движение планет и других небесных тел.

Луна держится на орбите силами земного притяжения, Земля на своей траектории – силами притяжения Солнца.

Круговое движение небесных тел происходит так же, как круговое движение камня, закрученного на веревке.

Силы всемирного тяготения – это невидимые «канаты», заставляющие небесные тела двигаться по определенным путям.

Утверждение о существовании сил всемирного тяготения еще мало что означало. Ньютон нашел закон тяготения, показал, от чего зависят эти силы.

Закон всемирного тяготения

Первый вопрос, который задал себе Ньютон, был таков: чем отличается ускорение Луны от ускорения яблока? Иначе говоря, каково различие между ускорением g, которое земной шар создает на своей поверхности, т.е. на расстоянии r от центра, и ускорением, создаваемым Землей на расстоянии R, на котором находится Луна от Земли?

Чтобы подсчитать это ускорение v2/R, надо знать скорость движения Луны и ее расстояние от Земли. Обе эти цифры были Ньютону известны. Ускорение Луны оказалось равным примерно 0,27 см/с2. Это приблизительно в 3600 раз меньше значения g = 980 см/с2.

Значит, создаваемое Землей ускорение уменьшается с удалением от центра Земли. Но как быстро? Расстояние равно шестидесяти земным радиусам. Но 3600 есть квадрат 60. Увеличив расстояние в 60 раз, мы уменьшили ускорение в (60)2 раз.

Ньютон сделал вывод, что ускорение, а значит и сила тяготения, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Далее, мы уже знаем, что сила, действующая на тело в поле тяжести, пропорциональна его массе. Поэтому первое тело притягивает второе с силой, пропорциональной массе второго тела; второе тело притягивает первое с силой, пропорциональной массе первого тела.

Речь идет о тождественно равных силах – силах действия и противодействия. Значит, сила взаимного тяготения должна быть пропорциональна массе как первого, так и второго тела, иначе говоря – произведению масс.

Итак,

Это и есть закон всемирного тяготения. Ньютон предположил, что такой закон будет верен для любой пары тел.

Теперь эта смелая гипотеза полностью доказана. Таким образом, сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

А что это за γ, которая вошла в формулу? Это коэффициент пропорциональности. Нельзя ли считать его равным единице, как мы это уже неоднократно делали? Нет, нельзя: мы условились измерять массу в граммах, расстояние в сантиметрах, а силу в динах. Значение γ равно силе притяжения между двумя массами в 1 г, находящимися на расстоянии 1 см. Мы не можем считать силу равной чему-то, в том числе и одной дине: коэффициент γ должен быть измерен.

Чтобы найти γ, разумеется, не обязательно промерять силы притяжения граммовых гирек. Мы заинтересованы в том, чтобы произвести измерение над массивными телами – тогда сила будет побольше.

Если определить массу двух тел, знать расстояние между ними и измерить силу притяжения, то γ найдется простым расчетом.

Такие опыты ставились много раз. Они показали, что значение γ всегда одно и то же, независимо от материала притягивающихся тел, а также от свойств среды, в которой они находятся. γ называется гравитационной постоянной. Она равна

γ = 6,67·10−8 см3/(г·с2)

Схема одного из опытов по измерению γ показана на рис. 64. К концам коромысла весов подвешены два шарика одинаковой массы. Один из них находится над свинцовой плитой, другой – под ней. Свинец (для опыта взято 100 т свинца) увеличивает своим притяжением вес правого шарика и уменьшает вес левого. Правый шарик перевешивает левый. По величине отклонения коромысла весов вычисляется значение γ.