Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Мы, живущие в век космических исследований, когда космические аппараты доставляют людей на Луну и совершают полеты к самым далеким планетам Солнечной системы, не сомневаемся в истинности гелиоцентрической теории. Однако у людей XVII-XVIII вв., даже если они были способны понять сочинения Коперника, Кеплера и Галилея, имелись достаточно веские основания для того, чтобы скептически относиться к гелиоцентризму. Против новой теории свидетельствовал весь жизненный опыт этих людей, и математические доводы Коперника и Кеплера, исходивших помимо философских убеждений из большей простоты гелиоцентрической теории, мало что значили для подавляющего большинства их современников.

Современная наука извлекла из трудов Коперника и Кеплера еще один важный вывод. Те же самые наблюдательные данные, которые Гиппарх и Птолемей привели в стройную систему, создав геоцентрическую теорию с ее деферентом и эпициклом, могут быть приведены в стройную систему, основанную на совершенно иных принципах, — в гелиоцентрическую систему мира Коперника и Кеплера. Хотя Коперник и в особенности Кеплер были убеждены в истинности гелиоцентрической теории, согласно современной точке зрения, в некотором смысле пригодны обе теории, но гелиоцентрическая теория обладает существенным преимуществом — большей математической простотой. Реальность ныне представляется нам не столь познаваемой, как ее понимали Коперник и Кеплер. В наши дни признано, что научные теории — изобретения человеческого разума. Современные астрономы еще могли бы согласиться с Кеплером, что «небеса воздают хвалу Богу и твердь небесная — его творение», однако в отличие от Кеплера они прекрасно сознают, что математическая интерпретация мироздания — их собственное творение и, вопреки всему чувственному опыту, верх одерживает математическая простота. Но как в таком случае нам определить, что реально в нашем физическом мире?

V

Главенствующая роль математики в физической науке

Настоящим сочинением мы лишь открываем двери к этим двум новым наукам, изобилующим положениями, которые в будущем будут неизмеримо больше приумножены пытливымиумами. {4}

Галилей

Развивая шаг за шагом нашу главную тему — о роли математики в познании реального мира, мы узнали о том, что гелиоцентрическая система мира получила признание по математическим соображениям. Не имей эта теория математических преимуществ перед геоцентрической системой Птолемея, она вряд ли бы выжила, особенно если учесть противодействие со стороны церкви. Но гелиоцентрическая теория восторжествовала, как и многие другие теории (о них пойдет речь в дальнейшем), которые либо противоречили нашему чувственному опыту, либо вынуждали нас признавать физические реалии, не воспринимаемые нашими органами чувств. На наш взгляд, важную роль в этом сыграла математика, которая начиная с XVII в. заняла ведущее место в физической науке и, согласно распространенным в ту эпоху убеждениям, почиталась за истину. Но чтобы лучше понять, как математика стала воплощением истины и наиболее эффективным инструментом исследования реального мира, нам придется несколько уклониться от главной цели книги — попытки объяснить, каким образом математика позволяет нам получить знание о реальном мире.

Исаак Ньютон сказал однажды, что он стоял на плечах гигантов. Крупнейшими из них были Рене Декарт и Галилео Галилей. Современная математика обязана своими выдающимися достижениями не только возросшему вниманию к ней как к науке, но и новой методологии, начало которой было положено в трудах этих двух величайших мыслителей XVII в. Попытаемся оценить хотя бы в общих чертах вклад каждого из них.

До XVII в. система научной мысли и самый характер научной деятельности находились под сильным влиянием Аристотеля. Основной особенностью его подхода к природе был поиск материальных или качественных объяснений. Последователи Аристотеля пытались объяснить земные явления, пользуясь теми качествами, которые они считали первичными, например такими понятиями, как горячее и холодное, влажное и сухое. Предполагалось, что в соответствующей комбинации такие качества порождают четыре элемента: землю, воздух, огонь и воду. Так, горячее и сухое в сочетании порождают огонь, горячее и влажное — воздух и т.д. Каждому из четырех элементов присущ особый, свойственный только ему вид движения. Огонь как самый легкий из элементов стремится подняться к небу, земная субстанция тяготеет к центру Земли. Аристотель рассматривал также и вынужденное движение, которое возникает, когда одно тело соударяется с другим и толкает его.

Твердые тела, жидкости и газы Аристотель рассматривал как три различные субстанции, наделенные различными фундаментальными качествами, а не как различные состояния одной и той же субстанции. Переход из жидкости в газ греки толковали как утрату одного качества и приобретение другого. Различие между объектами объяснялось отличием их основных качеств. Так, древние греки полагали, что для превращения ртути в золото необходимо лишить ее качества текучести, заменив его качеством твердости. Представление о неких фундаментальных качествах сохранялось и на первых этапах развития современной химии. Считалось, например, что сера содержит субстанцию горючести, которая получила особое название — флогистон, соль — субстанцию растворимости, а металлы — основную субстанцию ртути. Тепло вплоть до XIX в. считалось проявлением особой калорической субстанции: при нагревании количество этой субстанции в теле увеличивается, при охлаждении — уменьшается.

Аристотелианцы стремились классифицировать объекты по качествам или по содержащимся в них основным субстанциям. Более того, именно в классификации — этот метод и поныне доминирует в биологии — они видели свою основную задачу. Пытаясь объяснить, каким образом одно событие вызывает другое, Аристотель построил сложную схему причинно-следственных связей, в которой все сущее проистекает из четырех основных начал, или причин: формы (сущности), материи (или субстрата), источника движения (или «говорящего» начала) и цели («того, ради чего»). Чтобы разобраться в этих началах, проследим за тем, как скульптор ваяет статую. Материя в данном случае — это мрамор и инструменты скульптора, форма — образ статуи, существующий в воображении скульптора, источник движения — сам процесс создания статуи, а цель — намерение украсить статуей какое-то помещение. Наиболее важной в этом процессе была цель, или телеологическая причина, так как именно она придавала смысл всей деятельности. Какое место занимала в этой схеме математика? Поскольку математика для греков сводилась в основном к геометрии, а геометрия занималась главным образом изучением фигур, математика находила применение только при описании формы, т.е. ее роль здесь была весьма ограниченной.

В силу ряда обстоятельств аристотелевский подход к изучению природы сохранял господствующее положение и в средние века, и в эпоху Возрождения. Сочинения Аристотеля были поистине всеобъемлющими и получили более широкое распространение, чем работы других греческих авторов. Более того, учение Аристотеля о конечной цели вошло в догматы католической теологии. Конечной целью человеческой жизни на Земле провозглашалась подготовка к грядущей жизни в царстве небесном, а во всех земных явлениях церковь усматривала промысел божий.

В наши намерения, разумеется, не входит подробный рассказ об эпохе Возрождения; скажем только, что к началу XVII в. европейские ученые, несомненно, осознали важную роль математики в изучении природы. Убедительное подтверждение тому — готовность Коперника и Кеплера опрокинуть традиционную астрономию, механику и религиозные догмы во имя теории, которая по представлениям того времени обладала всего лишь одним преимуществом — математической четкостью и простотой.

Почему начиная с XVII в. наука оказалась столь результативной? Может быть, главные ее творцы — Декарт, Галилей, Ньютон, Гюйгенс и Лейбниц — были мыслителями более высокого ранга, чем их далекие предшественники? Вряд ли. Может быть, причину следует искать в более широком использовании наблюдения, эксперимента и индукции — методов, на необходимость которых указывали Роджер Бэкон и Фрэнсис Бэкон? Явно нет. Поворот к наблюдению и экспериментированию мог казаться новшеством в эпоху Возрождения, но как метод экспериментально-наблюдательный подход был известен еще древним грекам. Само по себе применение математики в физических исследованиях также не объясняет поразительных свершений современной науки: хотя ученый XVII в. и видел цель своей деятельности в выявлении математических соотношений, скрытых в многообразии явлений, поиск этих соотношений в природе не был для физики чем-то новым.