Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Наиболее значительные свои работы Кеплер выполнил в те годы, когда был астрономом при дворе императора Рудольфа. Движимый красотой и гармонией системы Коперника, Кеплер решил посвятить себя поиску дополнительных геометрических гармоний, скрытых в результатах многолетних астрономических наблюдений Тихо Браге, и попытаться найти математические соотношения между всеми явлениями природы. Однако пристрастие подгонять природу к заранее придуманной математической схеме стоило Кеплеру нескольких лет безуспешных поисков «гармонии мира». В предисловии к «Космографической тайне» он сформулировал свою основную задачу следующим образом:

В этой книжке я вознамерился доказать, что всеблагой и всемогущий Бог при сотворении нашего движущегося мира и при расположении небесных орбит избрал за основу пять правильных тел, которые со времен Пифагора и Платона и до наших дней снискали столь громкую славу, выбрал число и пропорции небесных орбит, а также отношения между движениями в соответствии с природой правильных тел.

([11], с. 176.)

Следуя своему плану, Кеплер постулировал, что радиусы орбит шести планет совпадают с радиусами сфер, связанных с пятью правильными (Платоновыми) телами следующим образом. Самый большой радиус имеет сфера Сатурна. В нее вписан куб. В этот куб вписана сфера, радиус которой есть радиус сферы Юпитера. В сферу Юпитера вписан тетраэдр, а в тетраэдр в свою очередь вписана сфера, радиус которой есть радиус сферы Марса, — и так для всех пяти правильных тел. В результате такого построения Кеплер получил шесть сфер — по числу известных тогда планет (рис. 23). Вскоре Кеплер понял, что его теория при всем своем изяществе не точна. Хотя вычисленные им расстояния между орбитами планет были очень близки к истинным, все же расстояния между сферами последовательно вписанными в правильные тела и описанными вокруг правильных тел, не вполне точно соответствовали расстояниям между планетами.

Рис. 23.

До этого момента к работе Кеплера в полной мере относилось критическое замечание, которое Аристотель не раз адресовал пифагорейцам: «Они [пифагорейцы] рассматривали явления не ради их самих и не ради того, чтобы докопаться до их причин, а единственно с намерением подогнать явления под свои априорные суждения и попытаться реконструировать мир». Но умудренный опытом прошлых веков Кеплер слишком чтил факты, чтобы отстаивать теории, не согласующиеся с наблюдениями и не позволяющие делать точные, предсказания.

Получив в свое распоряжение данные многолетних наблюдений Тихо Браге и проведя собственные наблюдения, Кеплер убедился в необходимости отвергнуть астрономические построения как своих предшественников, Птолемея и Коперника, так и собственные. Неутомимый поиск законов, которые бы находились в согласии с данными наблюдений, увенчался открытием трех знаменитых законов движения планет. Первые два закона Кеплер изложил в своем труде «Новая астрономия», опубликованном в 1609 г.

Первый из законов Кеплера в полном противоречии с традицией вводит в астрономию эллипс. Изучением этой кривой занимались еще древние греки примерно за две тысячи лет до описываемых событий, поэтому математические свойства эллипса были хорошо известны. Если окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных (на расстояние, равное радиусу) от данной точки (центра окружности), то эллипс можно определить как геометрическое место точек, суммарасстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Таким образом, если F 1и F 2— две заданные точки (рис 24), а  P— произвольная точка эллипса, то сумма PF 1+ PF 2не зависит от того, где именно расположена точка  Pна эллипсе. Две заданные точки F 1и F 2называются фокусами эллипса. Первый закон Кеплера гласит: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Другой фокус — чисто математическая точка, физически ничем не выделенная. Разумеется, каждаяпланета движется по своему эллипсу, один из фокусов которого (тот, в котором находится Солнце) является общим для эллиптических орбит всех планет. Таким образом, после пятнадцати столетий безуспешных попыток описать движение планет с помощью громоздких комбинаций окружностей на смену последним пришел простой эллипс.

Рис. 24.

Первый закон Кеплера говорит нам, по какой траектории движется планета, но умалчивает о том, сколь быстро планета движется по своей орбите; когда бы мы ни наблюдали положение планеты, предсказать, через какое время она окажется в другой точке орбиты, нам не удастся. Можно было бы ожидать, что каждая планета движется по своей орбите с постоянной скоростью, но, как показывали наблюдения — а именно с ними прежде всего сверялся Кеплер, — такое предположение не соответствует действительности. Второй закон Кеплера утверждает, что площади, заметаемые за одинаковое время отрезком, проведенным от Солнца к планете, равны. Иначе говоря, если планета перемещается из точки  Pв точку Q(рис. 25), скажем, за один месяц и из точки P'в точку Q'также за один месяц, то площади секторов F 1PQи F 2P 'Q 'равны. Кеплер был вне себя от радости, когда обнаружил, что закон изменения скоростей выражается столь простой зависимостью. Всевидящий Бог явно отдавал предпочтение постоянной секторной скорости перед постоянной линейной скоростью. 

Рис. 25.

Но одна важная проблема осталась нерешенной. По какому закону изменяются расстояния от Солнца до планет? Дело осложнялось тем, что расстояние от планеты до Солнца непостоянно, и Кеплер пытался нащупать новый принцип, который бы отражал это обстоятельство. По глубокому убеждению Кеплера, природа была сотворена на основе не только математических, но и гармонических принципов. Он верил в музыку сфер, чарующие мелодии которой запечатлены не в звуках, а в движениях планет, способных, однако, при надлежащем переводе рождать гармонические созвучия. Следуя этой идее, Кеплер путем поистине удивительной комбинации аргументов математического и музыкального характера пришел к третьему закону движения планет, который гласит: если  T— период обращения планеты вокруг Солнца, a D— ее среднее расстояние от Солнца, то

T 2= kD 3,

где  k— постоянная, одинаковая для всех планет. (В действительности вместо среднего расстояния Dследует брать большую полуось эллиптической орбиты планеты.) Такова формулировка третьего закона Кеплера, об открытии которого он торжественно возвестил в своем сочинении «Гармония Мира» (1619).

Так как среднее расстояние Земли от Солнца равно примерно 150 млн. км, а период ее обращения вокруг Солнца равен одному году, мы можем, подставляя значения Dи  Tдля Земли, вычислить постоянную k. Это означает, что с помощью третьего закона Кеплера мы можем вычислять среднее расстояние от планеты до Солнца, если известен ее период обращения, или, наоборот, период, если известно среднее расстояние.

Кеплер, несомненно, предпочел бы найти какое-нибудь соотношение между размерами планетных орбит, но и полученный результат преисполнил его такой радостью, что, сформулировав суть открытого им закона на страницах своего сочинения, он разразился гимном во славу Творца:

Бесконечна мудрость Творца, безграничны слава и могущество его. Вы, небеса, воспойте хвалу ему! Солнце, Луна и планеты, славьте его на своем неизъяснимом языке. Вы, небесные гармонии, постигшие его чудесные творения, воспойте хвалу ему! И ты, душа моя, восхвали Создателя! Им создано, и в нем существует все. То, что известно нам лучше всего, сотворено в нем и в нашей суетной науке. Хвала, честь и слава ему во веки веков!