Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ DH соизмеримы, можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным. Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — эта, четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFE делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI является его удвоением. Отсюда DBHI и его, сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DH четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.
Какую бы реконструкцию первоначального доказательства иррациональности *2 мы ни приняли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления греческой математики. «Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики»{109}. Над решением этой проблемы плодотворно работали такие выдающиеся математики, как Гиппократ Хиосский, Феодор, Теэтет, Евдокс. Их результаты были собраны и обработаны в «Началах» Евклида, ставших образцом для всей последующей математики.
В середине нашего века значение открытия несоизмеримых велдчин многие были склонны даже переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло, в математике, на рубеже XIX–XX вв.{110}. Исследования последних десятилетий показали, что аналогия эта была неудачной: никакого «кризиса оснований» в математике V в. до н. э. не было{111}. Столь, же мало подтверждений находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «все есть число». К этому вопросу мы еще вернемся в главе о пифагорейской философии.
Пифагорейская математика
первой половины V в. до н. э
Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике до начала деятельности Гиппократа Хиосского, можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагмента сочинения самого Гиппократа.
Часть сообщений Евдема сохранилась под его собственным именем. Так, например, Прокл отмечал, что Евдем приписывал пифагорейцам теорему о равенстве углов треугольника двум прямым (Евкл. I, 32) и задачи на приложение площадей, которые, трактуются в I и II книгах Евклида (фр. 136, 137). К Евдему восходит и ряд других свидетельств, сохранившихся у Прокла, Паппа Александрийского ги в схолиях; к «Началам» Евклида. Ведь именно Евдем занимался историей математики незадолго до того, как были написаны Евклидовы «Начала» и располагал обширными сведениями, позже утраченными.
К кому, например, может восходить сообщение о том, что пифагорейцы знали следующую теорему: плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника? Теоремы этой у Евклида нет, а Евдем, живший до него, вполне мог о ней знать. Ему же <мы обязаны и некоторыми другими ценными сведениями, например, о том; что пифагорейцам принадлежит вся IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных. многоугольников. и круга, или о том, что три правильных многогранника (тетраэдр, куб и додекаэдр) построили пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет.
Теоремы, уже известные Гиппократу Хиосскому, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, обобщенную теорему Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (Евкл. Щ 12–13), теорему о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (Евкл. IV, 15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в, круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в. том, что вся IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцатиугольнике (Евкл. IV, 16).
Поскольку IV книга прямо опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие активно использовал Гиппократ при решении проблемы квадратуры луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны самим Евклидом, либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглись и несколько теорем IV книги, но в целом, обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам{112}.
Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал пифагорейцам Приложение площадей представляет собой квадрирование прямоугольной фигуры и решается нахождением среднего пропорционального x между двумя заданными отрезками а и b — квадрат со стороной х и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его: он свел задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно, отметить, что Гиппократу не просто были, известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, — в конце концов он мог доказать, их и сам. Но дело, в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи, и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.
Итак, можно заключить, что к середине V в. до н. э. пифагорейцами было создано содержание II и IV книг Евклида, большинство положений III книги и значительная часть I книги. I книга стоит здесь несколько особняком: это связано с тем, что во второй половине IV в. до н. э. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые, предложения, например касающиеся параллелограммов, Что же касается частичной переработки II, III и IV книг, то она была произведена отнюдь не потому, что Евклида или его предшественников не удовлетворяла строгость доказательств пифагорейцев. Дело в том, что к середине IV в. до н. э. Евдокс создал новую теорию пропорций, приложимую и к несоизмеримым величинам. Евклид поместил ее в V книге и соответственно ему пришлось изменить доказательства всех тех положений первых четырех книг, которые опирались на старую теорию пропорций
- Империя – I - Анатолий Фоменко - История
- Рыцарство от древней Германии до Франции XII века - Доминик Бартелеми - История
- Лекции по античной философии. Очерк современной европейской философии - Мераб Константинович Мамардашвили - Науки: разное
- Теория гегемонии - Денис Роиннович Гаврилов - Политика / Науки: разное
- Ищу предка - Натан Эйдельман - История
- Путешествия Христофора Колумба /Дневники, письма, документы/ - Коллектив авторов - История
- Динозавры России. Прошлое, настоящее, будущее - Антон Евгеньевич Нелихов - Биология / История / Прочая научная литература
- Характерные черты французской аграрной истории - Марк Блок - История
- Труды по античной истории - Георгий Петрович Чистяков - История
- История Востока. Том 1 - Леонид Васильев - История