Веселые задачи. Две сотни головоломок - Яков Перельман

в 1 ч 12 мин в 7 ч 12 мин

в 2 ч 24 мин в 8 ч 24 мин

в 3 ч 36 мин в 9 ч 36 мин

в 4 ч 48 мин в 10 ч 48 мин

в 6 ч в 12 ч

Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, – но только с первого взгляда. Действительно, в 6 часов часовая стрелка стоит у VI, минутная – у XII, т. е. ровно вдвое дальше от начальной отметки XII (успев описать один оборот). В 12 же часов часовая стрелка удалена от XII на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль – то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.

144. После сделанных разъяснений решить эту задачу нетрудно. Рассуждая, как прежде, легко сообразить, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством

откуда 1 = 111/2 × х, или х = 1/23 целого оборота,т. е. стрелки будут расположены требуемым образом через 11/23 ч после XII, т. е. в 1 ч 214/23 мин минутная стрелка должна стоять посредине между XII и 11/23 часами, т. е. на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка к этому моменту пройдет 1/23 полного оборота). Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства

откуда 2 = 111 /2 x и x = 4/23; искомый момент – 2 ч 5 5/23 мин. Третий искомый момент – 3 ч 719/23 мин и т. д.

145. Эта задача решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у XII, и затем часовая отошла от XII на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за это время успела повернуться на 12 х х Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требованию нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка не дошла до конца полного оборота столько же, сколько часовая стрелка успела пройти от начала; другими словами

1 – 12 × х = х.

Отсюда 1 = 13 × х (потому что 13 × х – 12 × х = х). Следовательно, х = 1 /13 доле полного оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит за 12/13 ч и показывает 555/13 мин первого. Минутная же стрелка за это время прошла в 12 раз больше, т. е. 12/13 полного оборота. А значит, обе стрелки отстоят от отметки XII одинаково и, следовательно, одинаково отодвинуты и от отметки VI, находясь от нее по разные стороны. Мы нашли одно положение стрелок – именно то, в котором они оказываются в течение первого часа. В течение второго часа подобное расположение стрелок возникает еще раз; мы найдем его, рассуждая прежним образом, из равенства

1 – (12 × х – 1) = х, или 2– 12 × х = х,

откуда 2= 13 × х (поскольку 13 × х – 12 × х = х), следовательно, х = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 111/13 ч, т. е. в 5010/13 мин. второго. В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от XII на 3/13 полного круга, т. е. в 210/13 часа, и т. д. Всех положений 11 , причем после VI часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те положения, в которых раньше была минутная, а минутная – те положения, которые раньше занимала часовая.

146. Обычно отвечают: «7 секунд». Но такой ответ, как сейчас увидим, неверен.

Когда часы бьют три, мы слышим две паузы:

1) между первым и вторым ударом;

2) между вторым и третьим ударом. Обе паузы длятся

3 с, значит, каждая продолжается вдвое меньше – 11/2 с. Когда же часы бьют семь, то таких пауз бывает 6. Шесть раз по полторы секунды составляют 9 с. Следовательно, часы бьют семь, т. е. делают 7 ударов за 9 с.

147. Солнце при своем кажущемся суточном движении описывает полный круг за 24 часа, т. е. за столько же времени, что и часовая стрелка упомянутых заграничных часов. Поэтому, если в полдень, т. е. в 12 часов дня, расположить циферблат карманных часов так, чтобы часовая стрелка была направлена на Солнце, то эта стрелка, двигаясь вместе с Солнцем, будет все время указывать на дневное светило.

Отсюда вытекает простой способ отыскивать с помощью часов (конечно, только днем, в безоблачную погоду) то место, где Солнце бывает в полдень, т. е. находить направление на юг. Для этого нужно расположить циферблат так, чтобы часовая стрелка «смотрела» на Солнце; тогда направление на цифры XII укажет, где было солнце в 12 часов, т. е. направление на юг.

Рис. 152. Часы в роли компаса.

148. Часовая стрелка обыкновенных часов описывает полный круг не за 24, а за 12 часов, т. е. движется вдвое медленнее, чем Солнце по небу. Отсюда легко сообразить (см. предыдущую задачу), как найти направление на юг с помощью обыкновенных карманных часов. Нужно расположить их так, чтобы часовая стрелка была направлена на Солнце, и разделить пополам (на глаз) угол между часовой стрелкой и направлением на цифру XII. Линия, делящая этот угол пополам, покажет, где солнце было в полдень, т. е. точку юга.

149. Большинство людей в ответ на вопрос нашей задачи рисуют 6, либо VI.

Это говорит о том, что можно видеть вещь сто тысяч раз и все-таки не знать ее. Дело в том, что обычно на циферблате (мужских часов) цифры шесть вовсе нет – на ее месте помещается секундник (рис. 153).

Рис. 153.

150. Загадочные перерывы в тиканьи часов объясняются утомлением слуха. Наш слух притупляется на несколько секунд, и в эти промежутки мы не слышим тиканья. Спустя короткое время утомление проходит и прежняя чуткость восстанавливается, тогда мы снова слышим ход часов. Затем наступает опять утомление и т. д.

Неожиданные подсчеты

151. Стакан гороху

Вы много раз держали в руках горошину и не менее часто имели дело со стаканом. Размеры того и другого вам должны быть поэтому хорошо знакомы. Представьте теперь стакан, доверху наполненный горохом, и вообразите, что все эти горошины поставлены в один ряд, вплотную одна к другой.

Как вы думаете: этот ряд окажется длиннее обеденного стола или короче?

152. Листья дерева

Если бы сорвать с какого-нибудь старого дерева, скажем, с липы, все листья и положить их рядом, без промежутков, то какой приблизительно длины получился бы ряд? Можно ли им окружить большой дом, например?

153. Миллион шагов

Вы, конечно, очень хорошо знаете, что такое миллион, и столь же хорошо представляете себе длину своего шага. А раз вы знаете и то и другое, то вам нетрудно будет ответить на вопрос: как далеко вы отойдете, сделав миллион шагов? Больше, чем на 10 км, или меньше?

154. Квадратный метр

Я знал школьника, который, услышав впервые, что в квадратном метре миллион квадратных миллиметров, не хотел этому верить. Никакие разъяснения не были для него убедительны. «Откуда их берется так много? – недоумевал он. – Вот у меня лист миллиметровой бумаги длиной и шириной ровно в метр. Неужели в этом квадрате целый миллион миллиметровых клеточек? Ни за что не поверю».

– А ты пересчитай, – посоветовали ему.

– И пересчитаю! В воскресенье у меня будет свободное время, я и займусь этим делом.

В воскресенье он встал рано утром и сразу же принялся за счет, аккуратно отмечая точками сосчитанные квадратики. Каждую секунду появлялась новая точка под острием его карандаша; работал он усердно, и дело шло быстро. Но убедился ли он в этот день, что квадратный метр действительно заключает миллион миллиметровых клеточек?

155. Кубический метр

В одной школе учитель задал вопрос: какой высоты получился бы столб, если поставить один на другой все миллиметровые кубики, содержащиеся в кубическом метре?

– Он был бы выше Эйфелевой башни (300 м)! – воскликнул один школьник.

– Даже выше Монблана (5 км), – ответил другой. Кто из них ошибся больше?

156. Кубический километр

Вообразите кубический ящик высотой в целый километр. Как вы думаете: сколько таких ящиков понадобилось бы, чтобы вместить тела всех людей, живущих на свете? Примите во внимание, что население земного шара равно 1800 миллионам человек и что в одном кубическом метре можно уместить, средним счетом, 5 человеческих тел.

157. Волос

Человеческий волос очень тонок: толщина его – около 20-й доли миллиметра. Но если бы волос был в миллион раз толще, какой примерно толщины мог он быть? Один из моих знакомых, которому я задал этот вопрос, ответил, что волос был бы тогда толще круглой комнатной печи; другой утверждал, что волос имел бы толщину во всю комнату. Оба, конечно, ошиблись, но кто ошибся больше?

158. Сколько портретов?

Нарисуйте портрет на плотной бумаге и разрежьте его, скажем, на 9 полос (рис. 154) – Если вы умеете хоть немного рисовать, вам нетрудно будет изготовить другие полосы с изображением выделенных фрагментов, но такие, чтобы каждые две соседние полосы, даже принадлежащие разным портретам, можно было прикладывать одну к другой, не нарушая непрерывности линий. Если для каждой выделенной части лица вы приготовите, например, по 4 полосы [8] , у вас будет 36 полос, из которых, складывая по 9, вы сможете составлять разнообразные портреты.

Рис. 154. Составные портреты.