Веселые задачи. Две сотни головоломок - Яков Перельман

100 000 000 × 20 = 2 000 000 000,

а это больше 1 800 000 000, т. е. населения земного шара. Итак, чтобы поместить все человечество, достаточен квадрат со стороной менее 10 км.

139. Квадраты действительно равны.

140. Темных пятен никто не делал, и в действительности их нет. Мы видим их только из-за обмана зрения.

Задачи о часах

141. Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка совпадает с другой. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Рис. 147.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?

142. Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

143. В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько, на сколько часовая отошла от числа XII на циферблате (рис. 148)? А может быть, таких моментов бывает несколько за день? Или ни одного?

144. Наоборот

Если вы внимательно наблюдали за часами, то, быть может, вам случалось видеть и обратное расположение стрелок: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII (рис. 149) – Когда это бывает?

145. По обе стороны от шести

Я взглянул на часы и заметил, что стрелки находятся по обе стороны от цифры VI и отстоят от нее одинаково. В котором часу это было?

Рис. 148.

Рис. 149.

Рис. 150.

146. Три и семь

Часы бьют три, т. е. делают три удара, и пока они бьют, проходят три секунды. За сколько времени часы пробьют семь?

На всякий случай предупреждаю, что эта задача – не шутка и никакой ловушки здесь нет.

147. Часы-компас

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от I до XXIV часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не за 12, а за 24 часа.

Рис. 151.

Такие часы можно в ясные дни использовать как компас.

Каким образом?

148. О том же

Нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определять по ним, хотя бы приблизительно, страны света?

149. Цифра шесть

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно он обладает карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

– А сколько раз в день вы обычно смотрите на свои часы?

– Раз двадцать, вероятно, или около того, – последует ответ.

– Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 х 15, т. е. чуть ли не сто тысяч раз. Вы, конечно, знаете и отлично помните вещь, которую видели сто тысяч раз?

– Ну, разумеется!

– Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, но… изображает цифру шесть в большинстве случает совсем не так, как она обозначена на его часах.

Почему? Ответьте на этот вопрос, не глядя на ваши карманные часы.

150. Тиканье часов

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что ваши часы идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

Решения задач 141-150

141. Начнем наблюдать за движением стрелок в XII часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 1 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры I, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у XII – на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая – 1/12 круга, т. е. минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько 1/12 меньше 11/12, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 ч, т. е. через 60/11 = 11/12 мин. Итак, встреча стрелок случится спустя 55/11 мин после часа дня, т. е. в 55/11 мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 55/11 мин, т. е. в 2 ч. 105/11 мин. Следующая – спустя еще 1 час 55/11 мин, т. е. в 3 ч 164/11 мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 11/11 × 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:

1-я встреча – в 1 ч 55/11 мин

2-я —»-в 2» 1010/11 »

3-я —»-в 3» 164/11»

4-я —»-в 4» 219/11»

5-я —»-в 5» 273/11»

6-я —»-в 6» 328/11»

7-я —»-в 7» 382/11 »

8-я —»-в 8» 437/11»

9-я —»-в 9» 391/11»

10-я —»-в 10» 546/11»

11-я —»-в 12 ч

142. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга – тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12,т. е. потребуется всего 6/11 ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 ч, или 328/11 мин. Взгляните на часы в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 328/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч + 328/11 мин = 12 ч 328/11 мин

1 ч 55/ мин + 328/11 мин = 1 ч 387/11 мин

2 ч 1010/11 мин + 328/11 мин = 2 ч 437/11 мин

3 ч 161/11 мин + 328/11 мин = 3 ч 491/11 мин и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

143. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у XII, часовая – у I, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры XII на долю полного оборота, которую мы обозначим через х. Минутная стрелка успела к этому времени пройти в 12 раз больше, т. е. 12 × х Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 × х – 1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2 × х. Итак, 12 × х– 1 = 2 × х, откуда следует, что 1 целый оборот равен 10 × х (действительно, 12 × х – 10 × х =  2 × х). Но если 10 × х = целому обороту, то х = 1/10 части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры XII на 1/10 полного оборота, на что требуется 12/10 ч, или 1 ч 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от XII, т. е. на расстоянии 1/5 оборота; это соответствует 60/5 = 12 мин – как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у XII, а часовая – у II. Рассуждая, как прежде, получаем равенство

12 х – 2 = 2 × х,

откуда 2 целых оборота равны 10 × х и, значит, х = 1/5 целого оборота. Часы будут показывать при этом 12/5 = 2 ч 24 мин.

Дальнейшие моменты читатель легко вычислит сам и найдет, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

в 1 ч 12 мин в 7 ч 12 мин

в 2 ч 24 мин в 8 ч 24 мин

в 3 ч 36 мин в 9 ч 36 мин