5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

(12.33)

Поскольку поле диполя спадает, как 1/r3, то на больших рас­стояниях мы как раз имеем поле Е0. Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя p? Для ответа мы должны использовать другое условие [урав­нение (12.32)]. Мы должны продифференцировать j по r, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле q, поэтому удобнее выразить сначала j через r и q, а не через z и r. По­скольку z=rcosq, то

(12.34)

Радиальная составляющая Е есть

(12.35)

Она должна быть равна нулю при r=а для всех q. Это будет выполнено, если

(12.36)

Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от q по-разному, то мы не смогли бы вы­брать р так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при r=а для всех углов. Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадо­бится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял С2j=0 (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от cosq и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших r. Поле диполя — единственное, которое удовлет­воряет всем трем требованиям.

С помощью (12.36) наш потенциал приобретает вид

(12.37)

Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто:

(12.38)

Отсюда прямо находится v. Больше мы не будем заниматься этим вопросом.

§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости

В этом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать большое разнообразие воз­можностей. На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к интегралу того же сорта, что мы нашли в электростатике.

Фиг. 12.9. Освещенность In поверхности равна энергии излучения, падающей в единицу времени на единичную пло­щадку поверхности.

(Если перед нами стоит математическая задача, приводящая к некоторому интегралу, а интеграл этот уже знаком нам по другой задаче, то кое-что о его свойствах нам известно.) Возь­мем пример из техники освещения. Пусть на расстоянии а над плоскостью имеется какой-то источник света. Как будет освещаться поверхность? Чему равна энергия излучения, падающая на единичную площадку поверхности за единицу времени (фиг. 12.9)? Мы предполагаем, что источник сфери­чески-симметричный, так что свет излучается одинаково во всех направлениях. Тогда количество излученной энергии, проходящее через единичную площадку, перпендикулярную потоку света, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Очевидно, что интенсивность света в направлении нормали дается такой же формулой, что и электрическое поле от точечного источника. Если световые лучи падают на поверх­ность под углом 6 к нормали, то /, энергия, падающая на еди­ничную площадку поверхности, уменьшается в cos 9 раз, потому что та же энергия падает на площадь в I/cos 9 раз большую. Если мы назовем силу нашего источника S, тогда In, освещен­ность поверхности, равна

(12.39)

где er — единичный вектор в направлении от источника, а n — единичная нормаль к поверхности. Освещенность In соот­ветствует нормальной компоненте электрического поля от точечного источника с зарядом 4pe0S. Учитывая это, мы видим, что для любого распределения источников света можно найти ответ, решая соответствующую задачу электростатики. Мы вы­числяем вертикальную компоненту электрического поля на плоскости от распределения зарядов точно таким же образом, как для источников света.

Рассмотрим такой пример. Нам необходимо для какого-то эксперимента устроить так, чтобы стол освещался равномерно. Мы располагаем длинными трубками флуоресцентных ламп, излучающих равномерно по всей своей длине. Наш стол можно осветить, разместив флуоресцентные трубки правильными ря­дами на потолке, который находится на высоте z над столом. Чему должно быть равно наибольшее расстояние b от трубки до трубки, если мы хотим, чтобы поверхностное освещение было равномерным с точностью до одной тысячной? Ответ: 1) найдите электрическое поле от набора равномерно заряжен­ных проводов с промежутком между ними, равным b; 2) под­считайте вертикальную компоненту электрического поля; 3) определите, чему должно быть равно b, чтобы волнистость поля была не больше одной тысячной.

В гл. 7 мы видели, что электрическое поле от ряда заряжен­ных проводов может быть представлено в виде суммы членов, каждый из которых дает синусоидальное изменение поля с периодом b/n, где n — целое число. Амплитуда любого из этих членов дается уравнением (7.44):

Нам нужно взять только случай n=1, раз мы хотим получить поле в точках, не слишком близких к проводам. Чтобы полу­чить полное решение, нам еще нужно определить коэффициенты Аn, которые мы пока не нашли (хотя они находятся прямым вычислением). Поскольку нам нужно знать только A1то можно оценить его величину, считая ее равной средней величине поля. Экспоненциальный множитель тогда дает нам сразу относительную амплитуду изменений. Если мы хотим, чтобы этот множитель был равен 10-3, то b оказывается равным 0,91 z. Если промежуток между лампами сделать равным 3/4 рас­стояния до потолка, экспоненциальный множитель тогда бу­дет равен 1/4000, и мы имеем фактор надежности 4, так что мы можем быть вполне уверены, что освещение будет постоян­ным с точностью до одной тысячной. (Точное вычисление пока­зывает, что A1в действительности в два раза больше среднего поля, так что точный ответ будет b=0,8 z.)

Немного неожи­данно, что для столь равномерного освещения допустимый промежуток между трубками оказался таким большим.

§ 7. «Фундаментальное единство» природы

В этой главе мы хотели показать, что, изучая электростати­ку, вы одновременно учитесь ориентироваться во многих во­просах физики и что, помня об этом, можно выучить почти всю физику за несколько лет.

Но в конце, естественно, напрашивается вопрос: почему уравнения для разных явлений столь похожи? Мы могли бы сказать: «В этом проявляется фундаментальное единство при­роды». Но что это значит? Что могло бы означать такое заяв­ление? Это могло бы просто означать, что уравнения для раз­ных явлений похожи; но тогда, конечно, мы не дали никакого объяснения. «Фундаментальное единство» могло бы означать, что все сделано из одного и того же материала, а потому под­чиняется одним и тем же уравнениям. Звучит как неплохое объяснение, но давайте поразмыслим. Электростатический потенциал, диффузия нейтронов, поток тепла — неужели мы действительно имеем дело с одним и тем же материалом? Мо­жем ли мы, в самом деле, представить себе, что электростатиче­ский потенциал физически идентичен температуре или плот­ности частиц? Наверняка j не совсем то же самое, что тепловая энергия частиц. Смещение мембраны явно не похоже на темпе­ратуру. С какой же стати тогда здесь проявляется «фундамен­тальное единство»?

Более пристальный взгляд на физику разных вопросов по­казывает, что уравнения на самом деле не идентичны. Уравне­ние, найденное нами для диффузии нейтронов, всего лишь приближение, которое оказывается хорошим, если интересую­щее нас расстояние велико по сравнению с длиной свободного пробега. Если бы мы пригляделись повнимательнее, то увидели бы, как движутся отдельные нейтроны. Разумеется, движение одного нейтрона и гладкие изменения, которые мы получаем при решении дифференциального уравнения, вещи разные. Диф­ференциальное уравнение — это приближение, потому что мы сочли, что нейтроны гладко распределены в пространстве.

Может быть, в этом и состоит разгадка? Может быть, общее всем явлениям есть пространство, те рамки, в которые вложена физика? Пока все меняется в пространстве достаточно плавно, важными факторами, входящими в рассмотрение, будут ско­рости изменения величин в зависимости от положения в про­странстве. Вот почему у нас всегда получается уравнение с градиентом. Производные должны появляться в виде градиента или дивергенции; законы физики не зависят от направления, поэтому они должны выражаться в виде векторов. Уравнения электростатики — это простейшие векторные уравнения, вклю­чающие только пространственные производные величин, кото­рые можно вообще записать. Любая другая простая проблема— или упрощение сложной проблемы — должна быть похожа на электростатику. Общим для всех наших задач является то, что они связаны с пространством, и то, что мы имитируем по-настоящему сложные явления простым дифференциальным уравнением.